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Taylor e dintorni - Qualche richiamo teorico

Algebra degli "o piccolo"

Ricordiamo innanzitutto la seguente definizione. Se g(x) è una funzione diversa da zero in un intorno di un punto c, escluso al più c, e se f(x) è una funzione tale che img, allora si dice che f è "o piccolo" di g, per x tendente a c, e si usa scrivere f(x) = o(g(x)). Questa scrittura intende suggerire l'idea che f è "infinitamente piccola" rispetto a g.

La definizione ha interesse soprattutto nel caso in cui f e g siano entrambe infinitesime o entrambe infinite. Se sono entrambe infinitesime, dire che f è "o piccolo" di g equivale a dire che f tende a zero "più rapidamente" di g (cioè che un infinitesimo di ordine superiore); se sono entrambe infinite equivale a dire che f tende all'infinito "più lentamente" di g (cioè che è un infinito di ordine inferiore).

La definizione fu introdotta originariamente da Edmund Landau (1877-1938) ed è largamente usata, in particolare in relazione alla formula di Taylor. E' di uso comune la scrittura f(x) = h(x) + o(g(x)), al posto di  f(x) - h(x) = o(g(x)).

E' molto importante ricordare che dire che f è "o piccolo" di g non dà alcuna informazione su come è fatta la funzione f, se non che il limite del rapporto tra f e g è zero. Si vedano gli esempi che seguono, in cui abbiamo considerato funzioni affatto diverse, ma tutte o(g), con la stessa g (verificarlo come esercizio!):

E' utile saper manipolare espressioni contenenti i simboli o piccolo, in particolare quando si deve lavorare con le approssimazioni di Taylor. Le situazioni più comuni nelle applicazioni sono quelle che riguardano il caso x tendente a zero e riassumiamo qui alcune delle regole di uso più frequente, di dimostrazione immediata.

Forniamo qualche esempio per chiarire il modo di procedere e il significato di queste scritture.

Esempio 1 x3 + x5 = x3 + o(x4) = x3 + o(x3). Sia la prima che la seconda uguaglianza scritte mi permettono di concludere che x3 + x5, in un intorno di zero, può essere approssimata con x3 e, per esempio, che img.

Esempio 2 x3 + x5 = o(x2) + o(x4) =  o(x2). Questa uguaglianza, se pur corretta, non è di alcuna utilità, in quanto afferma che la funzione a primo membro è infinitamente più piccola di x2, ma non mi permette di fare alcuna approssimazione della funzione stessa né, per esempio, di calcolare img con α>2.

Esempio 3 f(x) = x4 + o(x3) + x = o(x3) + o(x3) + x = o(x3) + x. E' utile osservare che le due uguaglianze relative alla funzione f:  f(x) = x4 + o(x3) + x e f(x) = o(x3) + x, hanno esattamente lo stesso contenuto di informazioni.

Esempio 4 x + x5 + x7 + o(x3) + x2 + o(x6) = x + o(x3) + o(x3) + o(x3) + x2 + o(x6) = x + x2 + o(x3).

pagina pubblicata il 18/12/2004 - ultimo aggiornamento il 10/01/2009