Esercizi su approssimazioni con la formula di Taylor - 2
Esercizio 1 Valutare l'errore che si commette approssimando ln(3/2) con il polinomio di Taylor di ln(1+x) di grado n, con punto iniziale 0.
Il resto Rn(x) dello sviluppo di Taylor di ln(1+x) è
, essendo ξ un numero compreso tra 0 ed
x
oppure tra x e 0; nel nostro caso x = 1/2 e quindi 0 < ξ < 1/2. Quindi
. Se n è pari si ha
(per cui il valore ottenuto trascurando il resto
è approssimato per difetto), mentre se n è dispari si ha:
(per cui il valore ottenuto trascurando il resto è approssimato per
eccesso).
Esercizio 2 Se per calcolare sin(1/10) si usa il polinomio di Taylor di grado 5, quale errore si commette?
Si tratta di trovare una maggiorazione per il resto. Osserviamo che il polinomio di grado 6 coincide, per il seno,
con quello di grado 5, per cui basterà trovare una maggiorazione per R7(1/10). Si trova
facilmente 
.
Esercizio 3 Calcolare
, con un errore minore di 10-4.
Da 
si ottiene il seguente sviluppo:
. Integrando i due membri tra 0 ed 1 si
può ottenere il risultato voluto, pur di maggiorare opportunamente l'integrale del resto. Si trova,
facilmente, che 
. Questo numero vale
1/35280 se n = 3. Per n = 3 l'errore soddisferà le ipotesi richieste. Si può concludere
che 
.
Esercizio 4 Calcolare il polinomio di Taylor di grado 2 della funzione
esinx e valutare l'errore che si commette approssimando la funzione con questo polinomio,
nell'intervallo 
. Per calcolare il
polinomio di Taylor di grado 2 si potrebbero utilizzare gli sviluppi di ex e di sinx, ma
dovendo valutare l'errore calcoliamo le derivate successive fino alla terza.
Si ha 
. Dunque
f(0)=1,
f'(0)=1, f''(0)=1 e il polinomio di grado 2 è:
. Per maggiorare l'errore osserviamo che sinx ≤ x, da cui
segue 
. Tenendo conto della forma del
resto si conclude che 
.
Esercizio 5 Calcolare
con un errore inferiore a 10-7.
Dallo sviluppo di Taylor di et, di punto iniziale 0, otteniamo
. Siamo interessati a porre t = -x2, per cui
t ≤ 0. Allora t ≤ ξ ≤ 0, da cui eξ ≤ 1. Se effettuiamo la
sostituzione t = -x2 e integriamo tra 0 ed 1/10 troviamo
. Si osserva poi che
. Basterà quindi trovare un
n in modo che l'ultimo
termine sia minore di 10-7: n=2 è il più piccolo valore che soddisfa questa richiesta.
Ne segue che 
.
Esercizio 6 Calcolare
con un errore inferiore a 10-7.
Si possono ripetere le considerazioni dell'esercizio 5, solo che ora bisogna trovare
n tale che
. Utilizzando un programma di calcolo (es.
Derive™ o Mathematica™) si vede che il primo valore che soddisfa la richiesta è
n=33, un
valore decisamente alto che rende, tutto sommato, l'approssimazione polinomiale di Taylor poco conveniente per il
calcolo degli integrali. D'altro canto si può osservare che l'approssimazione in questione è, per
costruzione, "perfetta" localmente, cioè in un intorno del punto iniziale, mentre può
decisamente essere "brutta" se ci allontaniamo dal punto iniziale. Nel calcolo di un integrale, invece, il
problema è quello di un'approssimazione globale in un intervallo: occorrerà applicare altri metodi.
Solo per curiosità riportiamo il valore approssimato dell'integrale, ottenuto (ovviamente!!) con uno dei
software citati, 
: è chiaro che si
tratta di una tenica di nessuna utilità pratica.
E' molto utile rendersi conto graficamente di quello che succede, anche in relazione alla notevole differenza
che c'è rispetto all'esercizio precedente. Nelle figure qui sotto si possono vedere i grafici di
e dei polinomi di Taylor di grado
n=3,
n=25, n=50, di punto iniziale 0. Si vede subito che mentre nell'intervallo [0,1/10]
l'approssimazione globale è subito buona, non altrettanto succede per l'intervallo [0,3].
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