Limiti - Esercizi vari - 2
Esercizio 1 Calcolare, al variare del numero reale α, il
. Il numeratore della frazione tende a
. Il denominatore tende a
. Dunque:
- se α>0 il limite si presenta nella forma (numero negativo)/∞, e il risultato è 0;
- se α=0 il limite è -1/2;
- se -1<α<0 il limite si presenta nella forma (numero negativo)/0+, e il risultato è -∞;
- se α<-1 il limite si presenta nella forma (numero positivo)/0+, e il risultato è +∞;
Rimane il caso α=-1 quando il limite si presenta nella forma 0/0. Al denominatore si ha la somma di due
infinitesimi, di cui il primo è di ordine superiore al secondo, per cui può essere trascurato. Il limite
da calcolare diventa dunque:
. Per
l'ultimo fattore si può osservare che
.
Esercizio 2 Calcolare, al variare del numero reale α>0, il
. Il numeratore si può scrivere come
. Tenuto conto che il primo fattore tende ad 1 e il secondo a ln2, ci si
può limitare a considerare il terzo. Per il denominatore osserviamo che se α>1 il secondo addendo
è infinitesimo di ordine superiore al primo, per cui si può trascurare; se α<1 il primo addendo
è di ordine superiore al secondo per cui si può trascurare; se invece α=1 sono infinitesimi dello
stesso ordine. Esaminiamo i vari casi.
- α>1.
, e il limite vale
0. - α<1.
, e il limite 0. - α<1.
. Allora
e il limite, in conclusione, vale ln2/4.
Esercizio 3 Calcolare, al variare del numero reale α, il
. Il denominatore si può sostituire, usando i
limiti fondamentali, con xα+2. Se α=0 il numeratore si riduce a cosx-1 e il limite
vale -1/2. Se α≠0 al numeratore otteniamo:
. Si devono dunque distinguere il caso α≠1, in cui il numeratore ha limite finito
α(1-α), e quello α=1 in cui il numeratore vale x+o(x2). Si presentano
le seguenti situazioni:
- α<-2. Il limite si presenta nella forma (numero negativo)/∞, e il risultato è 0;
- α=-2. Il limite vale -6 (il denominatore tende ad 1);
- -2<α<0. Il limite si presenta nella forma (numero negativo)/0+, e il risultato è -∞;
- α=0. Il limite vale -1/2, come già osservato;
- 0<α<1. Il limite si presenta nella forma (numero positivo)/0+, e il risultato è +∞;
- α=1. Il limite si riduce a x/x3, e tende a +∞;
- α>1. Il limite si presenta nella forma (numero negativo)/0+, e il risultato è -∞.
Esercizio 4 Calcolare, al variare del numero reale α>0, il
. Il limite richiesto si può scrivere come
. Il primo fattore tende a 1. Esaminiamo il
denominatore del secondo fattore, che si presenta come somma di due infinitesimi, il primo di ordine 1 e il secondo di
ordine infrareale strettamente minore di α. Allora se α>1 il secondo addendo si può trascurare e
il limite vale 1/3. Se invece α≤1 si può trascurare il primo addendo e il limite si presenta come il
rapporto di due infinitesimi, di cui quello al numeratore è di ordine superiore: il limite vale 0.
Esercizio 5 Calcolare, al variare del numero reale α, il
. Il limite si può trasformare in:
, che è della forma 0/0 per ogni valore di
α. Applichiamo la regola di l'Hôpital. Si ottiene:
. Se α≠0 il limite è +∞. Se α=0 il limite si riduce a:
.
Esercizio 6 Calcolare, al variare del numero reale α, il
. Il numeratore della frazione tende a zero, mentre il
denominatore tende ad 1-α. Quindi se α≠1 il limite vale 0. Se α=1 si può osservare che, al
denominatore, 
è infinitesimo di
ordine 1/2, mentre ex-1 è di ordine 1 e quindi si può trascurare. Si ottiene allora:
.