Integrale di Riemann - Qualche richiamo teorico
In questo sito abbiamo proposto anche una trattazione dettagliata dell'integrale di Riemann (in inglese). In questa pagina invece ci limitiamo a riportare solo alcune delle nozioni "tecniche" più utili per risolvere gli esercizi.
La funzione integrale
Ricordiamo che se f è una funzione integrabile
secondo Riemann in un intervallo I e se c è un
punto qualunque di I, allora risulta definita, per tutti gli
x di I, la funzione 
, detta
funzione integrale di f, di punto iniziale
c. Le funzioni integrale sono sempre continue, non
appena f è integrabile, mentre risultano
derivabili in tutti i punti dove f è continua.
Se poi f è continua su tutto I, allora vale la
famosa formula 
, per ogni coppia di
punti a e b di I, dove F è una
qualunque primitiva di f.
Ricordiamo esplicitamente che una condizione necessaria per l'integrabilità secondo Riemann è che la funzione f sia limitata nell'intervallo I.
Riportiamo qui di seguito alcune tra le nozioni che interessano maggiormente le applicazioni delle funzioni integrali, limitandoci a considerare funzioni f continue in I.
-
Se
, allora
F'(x) = f(x), per
ogni x di I.
-
Se
, allora
G'(x) = -f(x), per
ogni x di I.
-
Se g è una funzione derivabile in I, allora
è derivabile in I e
H'(x) =
f(g(x))·g'(
x), per ogni x di I. Naturalmente si richiede
che g(x) stia in I affinché
l'integrale abbia senso. Questo fatto è una banale
conseguenza del teorema di derivabilità delle funzioni
composte.
-
Se g e h sono funzioni derivabili in I,
allora si può considerare la funzione
, naturalmente purché g(x) e
h(x) stiano in I. Questa funzione risulta
derivabile e per calcolarne la derivata basta considerare un
qualunque punto c di I e osservare che 
.