Esercizi sulle funzioni integrali
Esercizio 1 Data
, si determinino le ascisse dei punti di massimo e minimo relativo per la funzione
.
Basta osservare che F' = f su tutto R e trovare il segno di f. Per concludere basta osservare il grafico qui sotto.
.
Esercizio 2 Trovare il dominio delle seguenti funzioni:
.
La prima ha dominio x>0, la seconda x<0. Infatti per F a partire dal punto 1 si possono raggiungere solo i punti x dove la funzione f risulta limitata e quindi solo gli x positivi. Analogo discorso per G.
Esercizio 3 Data la funzione g(t) =arctan2(t), si
consideri la funzione 
.
- Se ne trovi il dominio e si dimostri che è una funzione pari.
- Si dica se è possibile prolungarla per continuità ad una funzione definita su tutto R.
- Si dica se la funzione così prolungata è di classe C1(R).
- Si calcoli il limite di f, quando x tende a +∞.
1. Il dominio è chiaramente x≠0. Si ha poi
. Abbiamo operato il cambiamento di variabile
t = -s, che ha derivata -1 e
abbiamo tenuto conto che la funzione integranda è pari.
2. Calcoliamo il limite per x tendente a zero. Scrivendo la funzione come
, si vede subito che si ha la forma indeterminata 0/0 per cui si può
applicare la regola di l'Hôpital. Si ottiene:
. Per prolungarla basta allora porre
f(0) = 0.
3. Per x≠0 si ha
, per cui
. Questo basta per concludere che la
funzione è derivabile in 0 e la sua derivata è continua, ovvero
f è di classe
C1(R).
4. Scrivendo la funzione come indicato al punto 2 si vede subito che il limite richiesto si presenta nella forma
∞/∞, per cui si può applicare la regola di l'Hôpital. Si ottiene allora facilmente
.
Esercizio 4 Dato il numero reale α si consideri la funzione
. Si trovi il più grande valore di α per
cui la funzione 
è monotòna
crescente. Detta G l'inversa di F, per il valore di α trovato, si trovi l'equazione della
tangente al grafico di G nel suo punto di ascissa 0.
Avendosi F'(x) = gα(x), basterà trovare α in modo che
gα sia non negativa. Si deve cioè trovare α in modo che la disequazione
sia sempre verificata. Tenendo conto del
grafico della funzione a primo membro, che è rappresentato qui sotto, e del noto grafico di sinx, si
conclude che α deve essere ≤-1.
Il grafico dei due membri per α = -1 è rappresentato qui sotto.
La tangente all'inversa nel suo punto di ascissa 0 è y =
G(0) +
G'(0)·x. Si ha G(0)=0 e
. L'equazione richiesta è allora semplicemente
y = x.
Esercizio 5 Sia f una funzione di classe C1(]0,+∞[). Mostrare che
f soddisfa la 
se e solo se
è costante.
Se f è costante
, per
cui la condizione indicata è verificata. Supponiamo che, viceversa, valga la condizione indicata. Allora
. Derivando membro a membro si trova
. da qui si conclude che
f'(x)=0 in ]0,+∞[ e quindi che f è costante.