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Esercizi sulla continuità uniforme

Esercizio 1 Dire se la funzione f(x)=arctanx/x è uniformemente continua in ]0,+∞[.

Osserviamo che si ha img e img. Se ne deduce che la funzione è prolungabile per continuità a tutto [0,+∞[ e che, avendo un asintoto orizzontale, è ivi uniformemente continua. A fortiori sarà uniformemente continua in ]0,+∞[.


Esercizio 2 Si consideri la funzione img. Si dica se è prolungabile per continuità a tutto R e se la funzione prolungata è uniformemente continua.

Poichéimg, la funzione è prolungabile per continuità in 0, ponendo f(0)=0. La funzione così ottenuta è continua su R ed ha due asintoti obliqui: y = x+1 a +∞ e y = x-1 a -∞, pertanto è uniformemente continua su R.


Esercizio 3 Provare che se una funzione è uniformemente continua in [a,b] e in [b,c], allora è uniformemente continua anche in [a,c].

Fissato ε>0, si considera ε/2 e, in corrispondenza ad esso si trovano δ1 e δ2 adatti per il primo e il secondo intervallo; se δ è  il più piccolo dei due esso va bene per entrambi gli intervalli. Se ora x ed y sono entrambi in uno dei due intervalli non ci sono problemi; se invece essi sono uno nel primo e uno nel secondo si può osservare che |x-y|<δ implica |x-b|<δ e |b-y|<δ. Allora img.


Esercizio 4 Provare per verifica diretta che img è uniformemente continua su [0,+∞[.

Si comincia con il provare che, per x ed y non negativi, img. Si ha infatti, successivamente:

img.

Se allora si prende δ=ε2, si può subito concludere.

Naturalmente si poteva anche osservare che sull'intervallo [0,1] la funzione è uniformemente continua per il teorema di Heine-Cantor, sull'intervallo [1,+∞[ è uniformemente continua perché ha derivata limitata. E' facile poi concludere con l'uniforme continuità sull'unione dei due intervalli. Infatti


Esercizio 5 Siano date due funzioni uniformemente continue f: AR e g: BR, tali che f(A)B. Mostrare che g°f è uniformemente continua.

Sia dato ε>0; è allora possibile trovare η>0 tale che da |y1-y2|<η segue |g(y1)-g(y2)|<ε; inoltre, a partire da η, è possibile trovare δ>0 tale che da |x1-x2|<δ segue |f(x1)-f(x2)|<η. Si può quindi concludere che, a partire da ε>0, è possibile trovare δ>0 tale che da |x1-x2|<δ segue |g(f(x1))-g(f( x2))|<ε. Questo basta per concludere.


Esercizio 6 Mostrare che una funzione continua e periodica di R in R è uniformemente continua.

Detto T il periodo, è sufficiente considerare un intervallo [a,b] tale che b-a = T: qui la funzione è uniformemente continua per il teorema di Heine-Cantor. Per il resto basta applicare la periodicità.


Esercizio 7 Provare che se f è integrabile in [a,b], allora img è Lipschiziana in [a,b].

Basta osservare che img, dove l'ultima uguaglianza esprime il teorema della media.

pagina pubblicata il 10/01/2005 - ultimo aggiornamento il 10/01/2005