La funzione arctangente
Considerata la restrizione della funzione tangente
all'intervallo 
del dominio, si ottiene
una funzione biunivoca (la funzione tangente, su questo
intervallo è suriettiva, quindi non occorre operare
restrizioni sul codominio), che indichiamo ancora con tg, nonostante la possibile (o forse
certa) confusione che ne nasce; la biunivocità garantisce
la possibilità di considerare l'inversa, che si
denota con arctg (arctan), o con atg
(atan), o con invtg (invtan), o
(soprattutto sulle calcolatrici elettroniche) con tg-1 (tan-1) (con le difficoltà
note legate all'uso di questa simbologia):
; 
.
Nell'animazione qui sotto il punto P si muove sul segmento
dell'asse delle ascisse, il punto Q
descrive la funzione tangente (ristretta a questo intervallo),
il punto R (simmetrico di Q rispetto alla predetta bisettrice)
descrive il grafico della funzione arctangente.
Si noti come le due funzioni siano entrambe tangenti alla bisettrice: questo è dovuto al fatto che gli angoli sono misurati in radianti.
Si noti altresì come le due funzioni abbiano in comune solamente l'origine degli assi: l'equazione tanx=arctanx ha come unica soluzione x=0.
che abbia tangente uguale
ad x: fornisce cioè l'unico arco
(dell'intervallo ) che abbia tangente
x.
Si noti come sia fondamentale precisare che il risultato della
funzione arctangente sta nell'intervallo :
di archi che abbiano una tangente data x ce ne sono
sempre infiniti, se non si pone alcuna limitazione.
Dalle formule di addizione della tangente, 
,
si ricavano le seguenti formule, di uso frequente: 
.
Se si preferisce ragionare sulla circonferenza goniometrica si
può esaminare la figura qui sotto: dato un numero reale
x qualunque, abbiamo individuato l'unico arco
dell'intervallo che ha come tangente
x: per questo basta riportare il numero x
sulla retta di equazione x=1 e trovare
l'intersezione (nel primo o quarto quadrante!) con la
circonferenza goniometrica del segmento congiungente x
con l'origine degli assi. Per ottenere dinamicamente il
grafico della funzione relativa abbiamo introdotto un secondo
sistema di coordinate (con le stesse unità del primo) e
abbiamo riportato il valore di x sull'asse delle
ascisse e il valore di arctanx sull'asse delle
ordinate