La funzione arctangente
Considerata la restrizione della funzione tangente all'intervallo 
del dominio, si ottiene una
funzione biunivoca (la funzione tangente, su questo intervallo è suriettiva, quindi non
occorre operare restrizioni sul codominio), che indichiamo ancora con tg, nonostante la possibile (o forse certa) confusione che ne nasce; la
biunivocità garantisce la possibilità di considerare l'inversa, che si denota con
arctg (arctan), o con atg (atan), o con invtg (invtan), o (soprattutto sulle
calcolatrici elettroniche) con tg-1 (tan-1) (con le difficoltà note legate all'uso di
questa simbologia):
; 
.
Nell'animazione qui sotto il punto P si muove sul segmento dell'asse delle ascisse, il
punto Q descrive la funzione tangente (ristretta a questo intervallo), il punto R (simmetrico di Q
rispetto alla predetta bisettrice) descrive il grafico della funzione arctangente.
Si noti come le due funzioni siano entrambe tangenti alla bisettrice: questo è dovuto al fatto che gli angoli sono misurati in radianti.
Si noti altresì come le due funzioni abbiano in comune solamente l'origine degli assi: l'equazione tanx=arctanx ha come unica soluzione x=0.
che abbia tangente uguale ad x: fornisce cioè l'unico
arco (dell'intervallo ) che abbia tangente x.Si noti come sia fondamentale precisare che il risultato della funzione arctangente sta
nell'intervallo : di archi che abbiano una tangente data x ce ne sono sempre infiniti, se non
si pone alcuna limitazione.
Dalle formule di addizione della tangente, 
, si ricavano le seguenti formule, di uso frequente:
.
Se si preferisce ragionare sulla circonferenza goniometrica si può esaminare la figura
qui sotto: dato un numero reale x qualunque, abbiamo individuato l'unico arco
dell'intervallo che ha come tangente x: per questo basta riportare il numero
x sulla
retta di equazione x=1 e trovare l'intersezione (nel primo o quarto quadrante!) con la
circonferenza goniometrica del segmento congiungente x con l'origine degli assi. Per
ottenere dinamicamente il grafico della funzione relativa abbiamo introdotto un secondo sistema di
coordinate (con le stesse unità del primo) e abbiamo riportato il valore di
x
sull'asse delle ascisse e il valore di arctanx sull'asse delle ordinate