Osservazioni conclusive
A questo punto ci si può chiedere la ragione di comportamenti così diversi dei polinomi di Taylor per le funzioni che abbiamo considerato. Una prima spiegazione si può trovare se si considera il problema della sviluppabilità di una funzione in serie di potenze: il fatto che una funzione sia indefinitamente derivabile permette la costruzione dei polinomi di Taylor di qualunque ordine, ma non garantisce affatto la convergenza della serie di potenze che così si viene a costruire. Inoltre, anche se la serie di potenze converge alla funzione data, non è affatto detto che il suo insieme di convergenza coincida con il dominio naturale di questa funzione. La ragione profonda, come già ricordato a proposito della funzione 1/(1+x2), sta nel fatto che occorrerebbe considerare questi sviluppi nel campo complesso, anziché in R.
Proponiamo ancora, per concludere, l'esempio della funzione ln(1+x), dove si può trovare ulteriore conferma di quanto sopra affermato.
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