Determinare il carattere della serie: .
Cominciamo con l'osservare che si tratta di una serie a segno alterno, che non può convergere assolutamente (la serie dei valori assoluti è la serie armonica). Per vedere se è applicabile il criterio di Leibniz dobbiamo controllare se la successione an è infinitesima e monotòna.
Per questo cominciamo a stabilire una interessante minorazione di una somma di reciproci di numeri naturali. Se p e k sono due naturali, si può provare per verifica diretta che . Consideriamo poi una somma di reciproci di naturali del tipo (come quelle che compaiono nella serie data). Se raggruppiamo i termini associando il primo con l'ultimo, il secondo con il penultimo, e così via, lasciando eventualmente isolato il termine di mezzo se il numero di addendi è dispari, possiamo facilmente concludere che , dove ci interessa segnalare che il numeratore è il doppio del numero di addendi, il denominatore è la somma tra i denominatori estremi.
Cerchiamo ora di scrivere i vari "pacchetti" di termini della nostra serie in modo compatto. Conviene osservare che il pacchetto n-esimo è la somma di n termini, e che il denominatore del primo termine del pacchetto è esattamente di una unità superiore al numero totale di addendi che lo precedono. Pertanto il denominatore del primo termine del pacchetto n-esimo sarà . Ogni pacchetto si potrà allora scrivere come .
Sulla base della precedente minorazione della somma di reciproci di numeri naturali potremo intanto concludere che .
Consideriamo ora il termine an+1. Se sostituiamo in ciascun addendo del pacchetto ciascun termine con il primo avremo una maggiorazione di questo termine: . Questa intanto prova che la serie è infinitesima
Infine per verifica diretta si prova che . Si può (finalmente!) concludere che , cioè che è applicabile il criterio di Leibniz e che la serie converge