Relazioni di equivalenza
Una relazione 
si
dice di equivalenza se è:
- riflessiva
- simmetrica
- transitiva
Le relazioni di equivalenza giocano un ruolo molto importante nei campi più svariati. Il
motivo è sostanzialmente legato al seguente fatto. Consideriamo un insieme
A su cui
sia stabilita una relazione di equivalenza. Per ogni x di A indichiamo con [x]
l'insieme di tutti gli elementi di A che sono in relazione con x: [x] =
{y 
A |
xy}. L'insieme
[x] è detto classe di equivalenza di x
L'insieme {[x] | x A} è di solito indicato con A/, si chiama insieme quoziente di A rispetto ad , e gode delle seguenti importanti
proprietà:
- I suoi elementi (che sono sottoinsiemi di A) sono non vuoti.
- Due suoi elementi distinti sono disgiunti (come sottoinsiemi di A).
-
.
La dimostrazione è abbastanza semplice e può costituire un utile esercizio sulle relazioni.
Dato un insieme A, una famiglia F di suoi sottoinsiemi con le tre proprietà
appena enunciate si chiama una partizione di A. Possiamo dunque
concludere che una relazione di equivalenza su un insieme A individua una partizione di
A. Viceversa data una partizione F di A, la relazione
xy se e solo se
x ed
y appartengono allo stesso sottoinsieme della partizione è una relazione di
equivalenza in A. Esiste quindi una corrispondenza biunivoca tra relazioni di equivalenza e
partizioni di un insieme.
In sostanza l'introduzione su un insieme di una relazione di equivalenza equivale a raggruppare gli elementi di A in modo che ogni gruppo contenga tutti gli oggetti che si equivalgono. Il gruppo, sotto molti aspetti, può essere trattato come un unico oggetto.
Esempi
- Nell'insieme di tutte le rette dello spazio la relazione "essere parallelo" è di equivalenza, le classi di equivalenza sono costituite dai fasci di rette parallele e queste classi di equivalenza si chiamano anche direzioni: la direzione di una retta è quella cosa che hanno in comune tutte le rette tra di loro parallele.
- Se p è un naturale, la relazione in Z: xy se e solo se
x-y è
multiplo di p, è una relazione di equivalenza, che si chiama congruenza modulo
p e si indica con ≡p. Il suo insieme quoziente è costituito da
p
elementi, e precisamente:
. Su questo insieme si può introdurre un'aritmetica con proprietà
molto interessanti. - In un insieme di due elementi A={x,y} le uniche relazioni di equivalenza sono
1={(x,x),(y,y)} ed 2=A×A.
- In un insieme di tre elementi le possibili relazioni di equivalenza sono le seguenti:
- Nell'insieme N×N la relazione
(n,m)(p,q) se n+q=m+p
è una relazione di equivalenza, le cui classi di equivalenza sono costituite da tutti e soli
i punti che appartengono a semirette parallele alla bisettrice del I e III quadrante.
Nell'insieme quoziente si possono introdurre le operazioni di somma e prodotto e si ottiene un
gruppo abeliano rispetto alla somma: è l'insieme degli interi. La bisettrice del primo e
terzo quadrante gioca il ruolo di zero, le semirette al di sotto giocano il ruolo di interi
positivi, quelle al di sopra di interi negativi.
