Integrazione "per parti" 
Una semplice rilettura della regola di derivazione del prodotto di due funzioni fornisce subito la seguente regola, detta di integrazione per parti:
Siano date due funzioni f e g, e sia F una qualunque
primitiva di f. Si ha allora: 
.
La formula si può leggere nel seguente modo: dato il prodotto di due funzioni f e g, e data una primitiva F della prima funzione, una primitiva del prodotto si trova facendo il prodotto della primitiva F della prima funzione per la seconda (fin qui in modo simile alla derivata di un prodotto), meno una primitiva del prodotto tra la primitiva F della prima e la derivata della seconda (e questa seconda parte è completamente diversa dalla regola sulla derivata di un prodotto).
Ci sono altri modi per scrivere, e leggere, questa formula: noi preferiamo quello indicato perché, vista la somiglianza con la regola della derivata di un prodotto, è forse il più semplice da memorizzare.
Osservazioni ed esempi importanti
- La formula indicata non risolve il problema del calcolo delle primitive di un prodotto: sposta
solo il problema dal prodotto fg al prodotto Fg'. Il suo uso sarà
conveniente solo se la ricerca delle primitive di Fg' è più semplice che
non quella delle primitive di fg.
Esempio.
. - Anche se il prodotto fg è uguale al prodotto gf, la formula non è
simmetrica rispetto alle due funzioni f e g: scambiando l'ordine tra le due
funzioni si è ricondotti alla ricerca di primitive diverse, Fg' oppure
Gf' (con ovvio significato dei simboli), e può benissimo succedere che una delle
due ricerche sia facile, mentre l'altra no.
Esempio.
e quest'ultimo integrale è più difficile di quello di partenza.
Cambiando l'ordine si ottiene invece:
- A volte la formula si applica anche in presenza di una sola funzione, osservando che
f =
1·f.
Esempio.
. - Naturalmente non è escluso che la formula debba essere applicata di nuovo per calcolare
la primitiva residua di Fg'.
Esempio.
(attenzione ai segni!!). - La maggiore difficoltà nell'uso della formula è comunque legata al fatto che
non è detto che essa debba essere sempre applicata nel caso di un prodotto di due
funzioni.
Esempio. Per calcolare
si deve utilizzare la formula per parti, mentre
, utilizzando la regola sulle
funzioni composte. - Una particolare tecnica si usa quando, applicando ripetutamente la formula per parti, si
ritorna al punto iniziale.
Esempio.
. Da qui si trova subito
. - Si osservi che se, dopo ripetute applicazioni della formula per parti, si ottenesse
, si dovrebbe
concludere che h è una funzione costante, non necessariamente nulla. Per esempio la
scrittura 
è perfettamente legittima.
Altri esempi
.
.
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