Goldbach, Mersenne, gemelli ...
Esistono numerosi problemi aperti sui numeri primi, oltre all'ipotesi di Riemann. E' praticamente impossibile elencarli tutti, e questo esulerebbe dallo scopo di queste pagine, citeremo solo alcuni di quelli storicamente più famosi, rimandando chi ha interessi specifici ai moltissimi siti specializzati (es http://www.utm.edu/research/primes/)
Per quanto riguarda i
numeri di Fermat rimandiamo ad una apposita pagina,
in questo stesso sito.
Nel 1742 in una lettera
che Christian Goldbach, un matematico dilettante tedesco che viveva a Mosca, scrisse a Eulero (la
corrispondenza tra il grande Eulero e Goldbach fu molto fitta) si trova l'ipotesi che ogni
numero pari, maggiore di 4, si possa scrivere come somma di due primi dispari. La cosa è facilmente
verificabile per i primi numeri pari: 6=3+3, 8=5+3, 10=5+5=7+3, 12=5+7, ...,
60=7+53=13+47=17+43=19+41=..., ...ed è oggi stata verificata, al computer, per numeri fino ad
alcune centinaia di migliaia di miliardi, ma questo, naturalmente, non conta nulla. L'ipotesi è
oggi nota come congettura di Goldbach, e aspetta di essere provata.
Il monaco francese
Marin Mersenne (1588-1648) e Pierre de Fermat, entrambi matematici dilettanti tenevano una fitta
corrispondenza sulle loro scoperte (o presunte tali) matematiche. Fermat si era occupato dei numeri
del tipo 2n+1, Mersenne si occupò invece dei numeri 2n-1,
arrivando facilmente a concludere che potevano essere primi solo se n lo era. Purtroppo ciò
non bastava, come aveva già provato Huldaricus Regius nel 1536, mostrando che 211-1=2047
è uguale a 23·89. Mersenne affermò però che, per n≤257, 2n-1 era primo
se, e solo se, n apparteneva all'insieme {2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 67, 127, 257}.
Come potesse Mersenne affermare che il numero di 77 cifre 2257-1 era primo, è sempre
rimasto un mistero. La primalità dei numeri corrispondenti ai casi n=13, 17, 19 era già nota
(per il primo dal 1456 ad opera di un anonimo e per gli altri due dal 1600 circa ad opera di Pietro Cataldi). La
primalità di 231-1 fu invece provata solo da Eulero un secolo più tardi, nel 1772. Un
altro secolo dopo (1872) fu verificata anche la primalità di 2127-1 e qualche anno più
tardi si trovò che anche 261-1 era primo. La lista di Mersenne non era esatta! Calcoli successivi
permettono di concludere che la lista corretta è: {2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, 89, 107, 127}.
Oggi si conoscono 41 numeri di Mersenne primi: l'ultimo è un numero di oltre sette milioni di
cifre, 224036583-1, e ci stiamo avvicinando alla soglia del numero primo da dieci milioni
di cifre, per cui è stato offerto un premio di 100000 dollari dalla Electronic Frontier Foundation.
Il problema di Mersenne è oggi diventato: esistono o no infiniti numeri di Mersenne
primi?
3 e 5, 5 e 7, 11 e 13,
17 e 19 sono coppie di numeri primi che distano di 2 unità (meno di così non si può, visto che,
escluso 2, nessun altro pari può essere primo). Questi numeri si chiamano primi gemelli.
Ebbene uno dei problemi insoluti è: esistono o no infinite coppie di numeri gemelli?
Si deve ricordare che, più ci si allontana dallo zero nei numeri naturali, più i numeri primi
diventano radi e quindi coppie di numeri siffatti diventano ancora più rade.