I numeri complessi
L'ultimo sforzo che dobbiamo fare per estendere l'insieme di numeri su cui operare, al fine di risolvere equazioni del tipo x2+1=0, è, tecnicamente, abbastanza semplice: si tratta solo di prendere R×R e definire opportunamente le operazioni di somma e prodotto.
Per quanto riguarda la somma non c'è alcuna difficoltà: si procede nella maniera tradizionalmente usata per i vettori, sommando le coppie per componenti.
Più delicata l'operazione di prodotto che è definita nel seguente modo: (a,b)·(c,d) = (ac-bd,bc+ad).
Naturalmente poi si introducono delle scorciatoie per trattare questi numeri, la più importante delle quali consiste nella definizione della cosiddetta unità immaginaria: i = (0,1). Questa definizione consente di trattare i numeri complessi, ai fini delle operazioni algebriche, come gli ordinari numeri reali, con l'aggiunta della "condizione" i2 = -1.
Anche in questo caso l'insieme numerico ottenuto potrà essere pensato come un'estensione dell'insieme dei reali: basterà identificare i vecchi numeri reali con le coppie del tipo (a,0), cioè con seconda coordinata nulla.
Osservazioni
Per quanto riguarda lo scopo di queste pagine ci interessano i seguenti fatti:
- La cardinalità è, naturalmente, la stessa di quella dei reali.
- La struttura algebrica è ancora rimasta la stessa (corpo commutativo).
- Per quanto riguarda l'ordine c'è una novità clamorosa: non è possibile introdurre un ordine in questo insieme in modo da estendere l'ordine già esistente sui reali. Questo insieme non è un insieme ordinato.
- Per quanto riguarda la risolubilità delle equazioni questo insieme riserva la sorpresa più clamorosa: in esso vale il teorema fondamentale dell'algebra che afferma, nella sostanza, che ogni equazione di grado n ammette esattamente n radici, purché ciascuna sia contata con la sua molteplicità.
Le sorprese che l'insieme dei complessi ci riserva non sono comunque finite: in numerosi campi (anche in geometria, per esempio) l'uso dei complessi consente una trattazione elegante e raffinata di problemi che, se visti nell'insieme dei reali, appaiono contorti e pieni di "eccezioni" alle regole. Vogliamo solo segnalare, tra le tante cose interessanti, che in questo insieme è possibile una trattazione rigorosa e unitaria delle funzioni trigonometriche e delle funzioni esponenziali, trattazione in cui è compresa la famosa formula
che contiene i cinque numeri più famosi della matematica.
Non è errato affermare, per concludere, che l'insieme numerico ottenuto partendo dalla idea di trovare soluzioni all'equazione x2+1=0 è alla base di una gran parte delle scoperte, non solo in campo matematico, degli ultimi 250 anni.