(angoli misurati in radianti!).
Per la dimostrazione si distinguono i casi x>0 e x<0. Per
x>0 si ha: sinx<x<tgx.
Dividendo per sinx (>0) e prendendo i reciproci si
ottiene: 
. La conclusione è ora
immediata sulla base del teorema dei due carabinieri. Per x<0
basta cambiare la variabile, ponendo t=-x.
É molto importante il fatto che, se gli angoli fossero
misurati in gradi, il limite sarebbe 
.
Per verificarlo basta ricordare il legame tra gradi e radianti:
e operare un cambiamento di variabile.
Questi due limiti hanno un importante significato geometrico. Se
si considera la funzione seno, con gli angoli misurati in
radianti, la sua tangente nell'origine ha pendenza 1, se
invece si misurano gli angoli in radianti la pendenza è
, cioè decisamente minore. Per
rendersene conto basta osservare, nei due grafici qui sotto, che
nel primo le unità di misura sono uguali sui due assi,
mentre nel secondo sono decisamente diverse.
Si noti anche che questo limite è indispensabile per poter determinare la derivata della funzione seno e quindi esso non può essere calcolato con il teorema di l'Hôpital, che richiede la preventiva conoscenza della derivata in questione.