Una funzione discontinua solo sui razionali
Che la funzione 
sia discontinua sui
razionali si verifica facilmente. Se c è
razionale, allora f(c) è strettamente maggiore
di zero, mentre in ogni intorno di c la funzione assume
anche il valore 0: basterà prendere come intorno di
f(c) un U che non comprenda lo zero
perché f -1(U) non sia un intorno di
c. Se invece c è un numero irrazionale,
allora f(c)=0. Fissiamo un intorno U di 0
(sull'asse y), che possiamo prendere circolare,
cioè costituito dai numeri compresi tra -ε
ed ε (con ε>0). I valori n tali che
1/n siano maggiori di ε sono in numero finito;
esisterà allora sicuramente un intorno di c dove
non cade alcun punto razionale m/n con 1/n
> ε. Ciò basta per affermare che,
fissato un intorno U di f(c), esiste un
intorno V di c tale che f(V)
U, ovvero che f è continua in
c.
E' interessante il fatto che, invece, non esistono funzioni discontinue solo sugli irrazionali: ciò è legato al fatto che gli irrazionali hanno cardinalità uguale a quella di R.