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Qualche osservazione

Il principio di induzione è la tecnica base per dimostrare proprietà dei numeri naturali, soprattutto all'inizio quando non si possiedono strumenti più efficaci ed è, in ogni caso uno dei modi più comuni di dimostrare affermazioni che valgono in un numero infinito di casi. C'è però un problema: la formula da dimostrare deve essere già nota, in quanto il metodo non fornisce indicazioni su come ricavarla. Gli esercizi su questo argomento sono, quasi sempre, del tipo "dimostrare che ..." e non "trovare quanto vale ...".

La cosa non è comunque sempre vera e, spesso, si può far ricorso alla cosiddetta "induzione empirica" per tentare di scovare la formula che poi sarà dimostrata con il Principio di induzione. Bisogna comunque prestare la massima attenzione per non cadere in errori grossolani. Gli esempi che seguono chiariranno quanto vogliamo dire.

Esempio 1

Calcolare la somma dei primi numeri dispari: 1 + 3 + 5 + ... + (2n+1).

Consideriamo i primi passi e cerchiamo di mantenere traccia dei calcoli effettuati e di come ogni passo influisce sui successivi: img.

Si può scommettere che la formula generale sarà: 1 + 3 + 5 + ... + (2n+1) = (n+1)2.

La prova, per induzione, richiede solo il Passo induttivo: il Passo base l'abbiamo già fatto (anzi ne abbiamo fatti più di uno!). Supposto dunque che 1 + 3 + 5 + ... + (2n+1) = (n+1)2, consideriamo 1 + 3 + 5 + ... + (2n+1)+(2(n+1)+1). Si ha: img. Questo basta per concludere che la formula è vera per ogni n.

Esempio 2

Consideriamo il polinomio: p(n) = n2 + n + 41. Proviamo a considerare il suo valore per n = 0, 1, 2, ... Si ottiene:

valori successivi del polinomio.

Si vede subito che tutti i numeri ottenuti sono primi. Viene naturale considerare l'ipotesi che la formula fornisca solo numeri primi. Purtroppo non è così. Infatti p(40) = 402 + 40 + 41 = ... = 412.

Dunque l'induzione empirica, che necessariamente è limitata ad un numero finito di casi, non è mai sufficiente a provare la validità di una formula P(n) per ogni valore di n.

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pagina pubblicata il 08/10/2003 - ultimo aggiornamento il 08/10/2003