Funzioni trigonometriche

N.B. Tutti gli archi e gli angoli sono misurati esclusivamente in radianti

Premessa

Anche per queste disequazioni, come già per quelle irrazionali e per quelle logaritmiche ed esponenziali, non esistono metodi generali di soluzione e spesso si possono applicare solo metodi numerici, come si può vedere dal seguente esempio.

Esempio. Si debba risolvere la disequazione: . Si può esaminare la figura seguente dove abbiamo riportato il grafico della funzione a primo membro della disequazione. La funzione è dispari (per esempio x_B=-x_A), per cui basterà risolverla per x>0. Si deduce dal grafico che la disequazione è vera per 0<x<x_A x_C<x<x_D x_E<x<xF, ecc. I valori x_A, x_C, x_D, ... si avvicinano sempre di più a multipli di π, in quanto al crescere di x la quantità 1/x diventa sempre più piccola. Con Cabri si trova: x_A 3.42, x_C 6.11, x_D 9.53, x_E 12.47, x_F 15.79, mentre per π e i suoi multipli si ha π 3.14, 2π 6.28, 3π 9.42, 4π 12.56, 5π 15.71.

Disequazioni elementari

Sono le disequazioni del tipo:

Abbiamo tralasciato le funzioni cotangente, secante e cosecante, perché di uso meno frequente, ma i metodi indicati si applicano anche ad esse.

Per risolvere disequazioni di questo tipo si possono seguire sostanzialmente due metodi: il primo basato sui grafici delle funzioni in oggetto, il secondo basato sulla definizione delle funzioni trigonometriche e l'uso della circonferenza di centro l'origine e raggio 1. Preferiamo di gran lunga il primo, perché rende più chiaro il problema della periodicità, che è uno dei problemi più importanti connessi con l'uso di questo funzioni. In ogni caso proporremo anche esempi d'uso del secondo metodo. Come al solito ragioneremo su alcuni esempi per chiarire il metodo.

Esempio 1. Risolvere la disequazione .

Uso delle funzioni goniometriche

Esempio 2. Risolvere la disequazione .

Uso delle funzioni goniometriche

Tracciato il grafico della funzione f(x)=cosx, si riporta il valore 1/3 sull'asse delle ordinate. Si tratta di trovare i valori di x sull'asse delle ascisse il cui coseno non supera 1/3. Il grafico mostra subito che i valori richiesti sono quelli compresi tra α e β e che poi la situazione si ripete identicamente sia a sinistra che a destra ad intervalli regolari di 2π. In questo caso, poiché il valore sull'asse delle ordinate è 1/3, i valori sull'asse delle ascisse non possono essere espressi in termini di multipli e sottomultipli di π, e bisogna fare ricorso alle funzioni trigonometriche inverse. In problemi come questo è opportuno utilizzare la lettera α e non "portarsi dietro" la scrittura arccos(1/3) che è troppo pesante. Qualunque calcolatrice tascabile fornisce facilmente il valore approssimato arccos(1/3) 1.2309. La soluzione della disequazione è:

.

Uso delle funzioni goniometriche

Tracciato il grafico della funzione f(x)=tanx, si riporta il valore sull'asse delle ordinate. Si tratta di trovare i valori di x sull'asse delle ascisse la cui tangente supera . Il grafico mostra subito che i valori richiesti sono quelli compresi tra α e π/2 e che poi la situazione si ripete identicamente sia a sinistra che a destra ad intervalli regolari di π. In questo caso, poiché il valore sull'asse delle ordinate è , i valori sull'asse delle ascisse possono essere espressi in termini di multipli e sottomultipli di π. La soluzione della disequazione è:

.

Disequazioni contenenti solo seno, coseno, tangente

Sono le disequazioni del tipo f(sinx) > 0 , o le analoghe che si ottengono sostituendo il coseno o la tangente al seno. Si risolvono con la sostituzione sinx=t, naturalmente a patto che la disequazione f(t) > 0 sia risolubile. Il caso più frequente nelle applicazioni è quello delle disequazioni di secondo grado in seno, coseno o tangente: . Proponiamo un esempio per chiarire il metodo.

Esempio. Risolvere la disequazione . Posto sinx=t, la disequazione di secondo grado è verificata per -1<t<1/2. Si ottiene dunque: , che porge, come soluzione finale, .

Disequazioni lineari in seno e coseno

Sono le disequazioni del tipo . Si tratta di un tipo di disequazione molto importante nelle applicazioni. Esistono varie strategie risolutive: ne proporremo due, segnalando che la prima è quella che ci pare più semplice. Sconsigliamo l'uso delle cosiddette formule parametriche (che esprimono il seno e il coseno in funzione della tangente di x/2).

Riduzione ad una disequazione elementare

Se si dividono ambo i membri per , dopo aver portato il termine noto a secondo membro, la disequazione si può scrivere nella forma: . Poiché , esiste sicuramente un numero α tale che . La disequazione si può allora scrivere nella forma ,  che diventa una disequazione elementare con la sostituzione x+α=t.

Esempio. Risolvere la disequazione: . Seguendo la strategia indicata si ottiene, successivamente: . Quest'ultima risulta verificata per . Le soluzioni cercate sono allora:  .

Come al solito, un utile controllo della bontà dei risultati si ha scrivendo e tracciando il grafico della funzione a primo membro. Riportiamo il grafico qui sotto:

.

Disequazioni omogenee di secondo grado in seno e coseno.

Sono le disequazioni del tipo . Esse si trasformano in disequazioni lineari con le formule:   (formule di bisezione e di duplicazione del seno).

Esempio. Risolvere la disequazione . Con le formule soprascritte si ottiene: , che diventa una disequazione lineare con la posizione 2x=t: . le sue soluzioni sono: .  Risostituendo t=2x e, dopo, dividendo per 2, si ottiene: .
Si presti attenzione a dividere per 2 solo dopo aver scritto per esteso le soluzioni in t, compresa anche la periodicità .

Disequazioni simmetriche in seno e coseno

Sono quelle del tipo , e si chiamano così perchè scambiando il seno con il coseno nulla cambia. Si riducono a disequazioni di secondo grado in coseno con la sostituzione .

Le altre disequazioni

Come già più volte accennato, non esistono tecniche risolutive generali per le disequazioni trigonometriche. Per risolvere quelle che non rientrano nei modelli considerati si devono utilizzare i metodi appresi per le funzioni algebriche, opportunamente adattati. Proponiamo un esempio per chiarire il concetto.

Esempio. Risolvere la disequazione . Si deve preventivamente trovare il dominio e poi il segno di ognuno dei fattori. Per ottenere il risultato finale conviene utilizzare il solito grafico del tipo +/-, con l'avvertenza che, trattandosi di funzioni periodiche, è sufficiente considerare un intervallo ampio quanto il periodo. Tra le operazioni preliminari ci sarà dunque anche quella di determinare il periodo, cosa non sempre agevole come mostra il caso della funzione tangente, periodica di periodo π, ma rapporto di due funzioni di periodo 2π. Nei casi semplici, trovato il periodo delle singole funzioni, basterà prendere, se c'è, il minimo comune multiplo dei periodi. In questo esempio, limitandoci al tratto tra 0 e 2π, per il dominio bisogna escludere i valori π/4, 3π/4, 7π/4. Riportiamo solo il grafico finale.

Le soluzioni sono: .

Funzioni trigonometriche inverse

Consigliamo di utilizzare esclusivamente i grafici delle funzioni trigonometriche inverse per risolvere questo tipo di disequazioni. Proponiamo alcuni esempi per chiarire il metodo, limitandoci a casi molto semplici.

Esempio 1. Risolvere la disequazione .

Tracciato il grafico della funzione f(x)=arcsinx e riportato il valore π/3 sull'asse delle ordinate, il grafico di seguito mostra subito che la disequazione è verificata per .

Per determinare il valore sull'asse delle ascisse basta ricordare che la funzione arcseno è l'inversa, nel tratto tra -π/2 e π/2 della funzione seno, per cui sull'asse delle ordinate compaiono gli angoli e sulle delle ascisse i loro seni: .

Esempio 2. Risolvere la disequazione .

Esempio 3. Risolvere la disequazione . Con una sostituzione ormai usuale la disequazione si riduce a . La seconda non ha soluzioni, la prima è verificata per -1 ≤ x < sin1.