Il trinomio di secondo grado ax2+bx+c
Una disequazione di secondo grado in un'incognita si può sempre porre in una delle forme:
- ax2 + bx + c > 0
- ax2 + bx + c < 0
- ax2 + bx + c ≥ 0
- ax2 + bx + c ≤ 0
con a, b, c numeri reali e a ≠ 0.
Per risolvere una disequazione di questo tipo, o per determinare il segno di un trinomio di secondo grado, non conviene imparare a memoria regole relative al segno di a, al segno del discriminante, ecc. Conviene piuttosto ricordare che un trinomio di secondo grado ha, in un piano cartesiano ortogonale, sempre come grafico una parabola con asse parallelo all'asse delle ordinate. La rappresentazione, anche molto schematica, di questa parabola, e la determinazione delle sue eventuali intersezioni con l'asse delle ascisse (formula risolutiva delle equazioni di secondo grado!) permette di trarre immediatamente le conclusioni.
Ragioniamo su alcuni esempi.
Esempio 1. Risolvere la disequazione
-2x2 + 3x + 5 > 0. Il trinomio a primo
membro ha il grafico riportato qui di seguito. Se ne deduce
subito che la disequazione è verificata per 
. Se il problema fosse la determinazione di
sgn(-2x2 + 3x + 5), lo stesso
grafico fornirebbe subito il risultato che possiamo
rappresentare al solito modo:
.
Esempio 2. Risolvere la disequazione
x2 + x + 2 < 0. Il grafico qui sotto
mostra subito che la disequazione non è mai verificata o,
meglio, che il suo insieme di soluzioni è vuoto: S = 
. Per quanto riguarda il segno del trinomio
esso risulta sempre strettamente positivo:
________________________ .
Esempio 3. Risolvere la disequazione -x2 + 2x - 1 < 0. Anche in questo caso il grafico di seguito permette immediatamente di concludere che:
-
-x2 + 2x - 1 < 0 ha come insieme
di soluzioni:
(cioè è verificata per tutti gli
x ≠ 1).
-
il trinomio -x2 + 2x - 1 ha
come segno:
(cioè è sempre negativo tranne che per
x=1 dove si annulla).
Si noti la differenza di significato, nelle nostre convenzioni, tra la linea continua nel grafico relativo alle soluzioni (grafico vero/falso) e la linea tratteggiata nel grafico relativo al segno.
Anche per le disequazioni di secondo grado possiamo ripetere quanto già osservato per quelle di primo grado, relativamente al fatto che il dominio è sempre costituito da tutti i numeri reali, per cui la sua determinazione non riveste importanza.