Un esempio complesso

Proponiamo qui un esempio di disequazione coinvolgente funzioni razionali, irrazionali e con valori assoluti. L'esercizio è svolto in dettaglio e qualche volta anche in maniera forse troppo prolissa: lo scopo è quello di proporre un modello di risoluzione utile per affrontare con maggiore serenità i temi in classe. É molto importante, in un problema appena un po' complesso, essere molto precisi e chiari, anche dal punto di vista estetico. Non si deve aver paura di scrivere quello che si sta facendo (un po' come siamo stati abituati alle scuole elementari, almeno a quelle dei nostri tempi!). Sarebbe utile fare uno schema risolutivo, esattamente come si fa in un tema di italiano. É opportuno non pasticciare il foglio, scrivendo dove capita, ma andare con ordine. Tra l'altro chi corregge il compito è intuitivamente mal disposto di fronte ad un tema che prima di essere corretto debba essere decifrato. Per concludere segnaliamo che, naturalmente, il metodo di risoluzione che proponiamo non è l'unico: quello che conta è che ci si deve rendere conto che è indispensabile avere un metodo e seguire un ordine preciso, senza confusioni.

L'esercizio proposto è abbastanza complesso, in quanto richiede la conoscenza di numerose tecniche, ma non inutilmente lungo: non ci pare né didatticamente interessante né utile per verificare le conoscenze, competenze e capacità degli allievi proporre esercizi con quattro piani di morbidezza, come spesso vediamo nei compiti in classe!

Il testo dell'esercizio: risolvere la disequazione .

Ricerca del dominio D. Come più volte ricordato questa deve essere la prima preoccupazione nel risolvere una disequazione: si tratta di trovare il massimo sottoinsieme dei reali dove le operazioni indicate hanno senso. Questo si traduce usualmente in un sistema di disequazioni ad un'incognita. Nel nostro caso le operazioni che non sono sempre lecite sono l'estrazione di radice quadrata (il radicando deve essere positivo) e la divisione (il denominatore deve essere diverso da zero). Sono le due condizioni più comuni; considerando altre funzioni elementari si dovranno considerare altre condizioni, come si può vedere consultando l'elenco delle funzioni elementari comunemente incontrate nelle applicazioni.

Il sistema che si ottiene è: .

La prima disequazione è sepre vera (parabola con concavità verso l'alto e che non interseca mai l'asse delle ascisse), la terza è già risolta; la seconda si può risolvere nella maniera standard proposta, oppure in un modo più elegante tenendo conto della definizione di valore assoluto. Le proponiamo entrambe.

• Risoluzione standard seconda disequazione. La frazione è positiva per x<-1/2  x>0, nulla per x=-1/2, negativa per -1/2<x<0. (*)

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  Ricerca del segno della frazione .  Il calcolo è molto semplice e porta facilmente al seguente grafico:

  

  Si devono dunque distinguere due casi.
  • x ≤ -1/2    x > 0. La disequazione si riduce a , che ha come soluzioni: x ≠ 1.
  • -1/2 < x < 0. La disequazione si riduce a , che ha come soluzioni: x ≠ -1/5.
• Risoluzione alternativa della seconda disequazione. Si può scrivere:
  .

In conclusione, tenendo conto della terza disequazione, si trova: .

Ricerca del segno dei due fattori (uno al numeratore e uno al denominatore). Naturalmente terremo conto del dominio già trovato, senza ripetere inutili calcoli.

• Segno del numeratore. Dobbiamo risolvere la disequazione , che conviene riscrivere nella forma . Essendo il primo membro sempre positivo dovremo solo considerare il segno del secondo membro, il che ci porta a distinguere due casi.
  • x ≥ 1. Quadrando e semplificando si ottiene 3x+1>0, cioè x>-1/3. Tenendo conto della condizione (x≥1) si vede che la disequazione è, per questi valori di x, sempre verificata.
  • x < 1. In questo caso il primo membro è positivo e il secondo è negativo, per cui la disequazione è verificata senza problemi.
  Ne segue che la disequazione è sempre verificata ovvero che il numeratore è sempre maggiore di zero e quindi non si annullerà mai, né, tantomeno, potrà essere negativo.
• Segno del denominatore. Dobbiamo risolvere la disequazione . Ricordando il già trovato segno della frazione argomento del valore assoluto, vediamo che si debbono distinguere due casi.
  • x ≤ -1/2    x > 0. La disequazione si riduce a ovvero . La soluzione è facilmente determinabile: x < 0 x > 1. (**)

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    Ricerca del segno della frazione . Il calcolo è molto semplice e porta facilmente al seguente grafico:

    

    Tenendo conto delle condizioni si trova: x ≤ -1/2    x > 1.
  • -1/2 < x < 0. La disequazione si riduce a ovvero . La soluzione è facilmente determinabile: x < -1/5  x > 1. (***)

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    Ricerca del segno della frazione . Il calcolo è molto semplice e porta facilmente al seguente grafico:

    

    Tenendo conto delle condizioni si trova: -1/2 < x < -1/5.

  Dall'unione dei risultati dei due casi si ottiene: x ≤ -1/5    x > 1. Per questi valori il denominatore è maggiore di zero. I valori che annullano il denominatore sono già stati esclusi nella ricerca del dominio. Possiamo concludere che il denominatore ha il segno rappresentato dal grafico qui sotto:

   

Conclusioni. Si traggono facilmente dopo aver tracciato il solito grafico del tipo +/-.

La disequazione è verificata per .

Anche in questo caso il grafico della funzione a primo membro della disequazione fornisce un immediato e utile riscontro ai risultati trovati.