Finezze
Nello studio di funzione sono a volte richieste anche considerazioni un po' più dettagliate relativamente al comportamento in certi punti. Senza pretendere di essere esaustivi elenchiamo alcune delle richieste più frequenti.
Cuspidi e flessi verticali
Sia f continua in un punto c e tale che il limite del rapporto incrementale sia infinito. Si possono allora presentare le seguenti situazioni.
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| primo caso | secondo caso | terzo caso | quarto caso |
Punti angolosi
Sia f continua in un punto c, ma con limiti del rapporto incrementale sinistro e destro diversi e di cui almeno uno finito. Si ha allora un punto angoloso, come mostrano i seguenti esempi (non comprensivi di tutte le situazioni che si possono presentare):
Attacchi
Se una funzione non è continua (o non è definita) in un punto c, ma ha limite finito in c (almeno da uno dei due lati) ed è derivabile in un intorno di c, ha interesse esaminare il limite della derivata prima quando x tende a c, per verificare con quale pendenza la funzione si avvicina al valore limite.
Se per esempio si considera la funzione 
,
si trova che non è definita (né prolungabile per
continuità) in zero. Poiché 
, ha interesse sapere con quale pendenza la
funzione si avvicina a zero (da sinistra!). Si trova facilmente
, da cui si
deduce che, avvicinandosi all'origine da valori negativi la
funzione tende ad avere una tangente orizzontale.
Esempi
Proponiamo alcuni esempi classici di punti angolosi e cuspidi, invitando il lettore a verificare la correttezza dei risultati indicati (magari con un programma di grafica al computer!).
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(definita su tutto
R): flesso verticale ascendente per
x=0.
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: cuspide con minimo per x=0.
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: punto angoloso per x=1,
con tangente "sinistra" di coefficiente angolare -1
e destra di coefficiente angolare 1.
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: punto angoloso per x=0,
con tangente orizzontale a sinistra e verticale a destra.