Derivate successive nella ricerca degli estremi - dimostrazione

La dimostrazione si basa sull'uso della formula di Taylor, certamente applicabile nel nostro caso e che, tenendo conto dell'annullarsi delle derivate come nell'enunciato, si riduce a: . Poiché , per il teorema della permanenza del segno ha lo stesso segno di in un intorno di c. Tenendo conto che n è l'esponente di x-c si deduce che, in quest'intorno, 

• se n pari ha lo stesso segno segno di , per cui f(x) è sempre maggiore o minore di f(c), ovvero la f ha un minimo o un massimo;
• se n è dispari cambia di segno passando dalla sinistra alla destra del punto c, ovvero il punto non è né di massimo né di minimo e la funzione è crescente o decrescente a seconda del segno di .