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Il teorema di Cauchy - dimostrazione

Siano f e g due funzioni continue in un intervallo [a,b] e derivabili almeno in ]a,b[. Sia inoltre g'(x)0.
Allora esiste almeno un punto c di ]a,b[ tale che img.

Intanto, sulla base del teorema di Rolle, si può concludere che g(b)g(a), altrimenti la derivata g'(x) si annullerebbe in almeno un punto di ]a,b[. Per la dimostrazione vera e propria si usa la stessa tecnica usata per il teorema di Lagrange, facendo intervenire una funzione ausiliaria che abbia valori uguali agli estremi. La funzione cercata sarà, come in Lagrange,  una combinazione lineare di f e g: hf+kg, con h e k costanti reali da determinare (ovviamente non entrambi nulle!). Imponendo la condizione hf(a)+kg(a)=hf(b)+kg(b), si trovano subito i valori di h e k, dopodichè la conclusione è immediata, sempre sulla falsariga della dimostrazione proposta per Lagrange.

pagina pubblicata il 01/10/2002 - ultimo aggiornamento il 01/09/2003