Il teorema di Lagrange - dimostrazione
Sia f una funzione definita e continua in un intervallo
[a,b] chiuso e limitato, e derivabile almeno in ]a,b[. Allora
esiste almeno un punto c di ]a,b[ tale che 
.
Considerata, oltre alla funzione f, la retta passante
per (a,f(a)) e per
(b,f(b)), 
, definiamo la funzione
g(x)=f(x)-r(x). Essa è ancora continua
(nell'intervallo chiuso) e derivabile (almeno
nell'interno dell'intervallo) e inoltre assume agli
estremi lo stesso valore (nullo): g(a)=g(b)=0.
Poiché 
, basterà
provare che esiste almeno un punto c di ]a,b[ tale che
g'(c)=0. Ci sono due possibilità:
- g è costante, e allora la cosa è ovvia;
- g non è costante e allora, dovendo avere sia un massimo che un minimo per il teorema di Weierstrass, dovrà averli di diverso valore; uno dei due dovrà per forza essere interno all'intervallo e quindi in esso g'(c)=0.