Teorema 1:
Dato un reale x
[0,1[ , esiste una ed una sola successione
a1, a2, ..., an, ... di interi
di [0,9] tali che, per ogni intero n≥1 si ha:
(**)
Dimostrazione
Unicità
Sia b1, b2, ..., bn, ...
un'altra successione verificante **. Proviamo che
b1=a1.
Da 
, segue 
.
Da qui segue a1=b1 perché
altrimenti [a1,a1+1[ e
[b1,b1+1[ sarebbero disgiunti. Per
induzione su n si prova poi che an=bn per
tutti gli n, basta scrivere la (**) fino all'ordine
n+1.
Esistenza
Sia a1 l'unico intero dell'intervallo [0,9]
tale che 
. Il modo come si
determina a1 si può dedurre dalla seguente
figura:
In sostanza: diviso l'intervallo [0,1] in 10 parti, a1 è scelto in modo che a1/10 sia il punto immediatamente precedente x o coincidente con x stesso. Definito a1, si definiscono le cifre successive nello stesso modo, dividendo l'intervallo cui appartiene x nuovamente in 10 parti.