Perché?

I numeri reali vengono introdotti per risolvere alcuni problemi legati alle misure di grandezze altrimenti intrattabili: il più famoso (e storicamente importante) è quello della misura della diagonale di un quadrato il cui lato sia assunto come unità. La possibilità di risolvere i problemi di misura è legata ad una proprietà cruciale dell'insieme dei reali, proprietà che non si ritrova nell'insieme dei numeri razionali, la cosiddetta proprietà dell'estremo superiore: ogni insieme non vuoto e superiormente limitato di reali o ha massimo o è tale che l'insieme dei suoi maggioranti ha minimo.

L'introduzione di questo insieme di numeri può essere considerata conclusiva anche dal punto di vista della struttura algebrica: si tratta di un insieme in cui le operazioni di somma e prodotto godono di tutte le proprietà desiderabili (associativa, esistenza dell'elemento neutro, esistenza del simmetrico, distributiva del prodotto rispetto alla somma, commutativa), proprietà del resto già godute dall'insieme dei razionali.

Purtroppo rimane un grosso problema, insolubile anche in un insieme così raffinato come è quello dei reali, e precisamente quello della risoluzione di certe equazioni di grado superiore al primo. L'esempio più semplice è quello dell'equazione x²+1=0 che non ha soluzioni, pur essendo molto simile all'equazione x²-1=0, che invece ha due soluzioni. In sostanza è abbastanza "fastidioso" che certe equazioni abbiano un numero di soluzioni distinte pari al loro grado, mentre altre, anche non molto diverse, non hanno alcuna soluzione, o ne hanno meno di quanto sia il loro grado. La cosa non è limitata alle equazioni di secondo grado. Un esempio può essere l'equazione x³+2x²+3x+2=0 che ha solo la soluzione x=-1, mentre l'equazione x³+2x²-x-2=0 ha tre soluzioni distinte e precisamente x=-1, x=1, x=-2.

Questo ci spinge ad ampliare l'insieme dei reali introducendo un nuovo insieme di numeri che, ed è un vero colpo di fortuna, non risolverà solo questo problema, ma presenterà una serie di proprietà tali da renderlo adatto a trattare un grande numero di situazioni nei più disparati campi della matematica e delle sue applicazioni.

In questo sito abbiamo proposto anche una discussione più dettagliata sugli stimoli che spingono ad ampliare via via l'insieme dei numeri in uso (dai naturali ai complessi).