Esercizi risolti - 3

Esercizio 21. Calcolare .

Si ha  . Per il secondo passaggio si è fatto uso della formula del binomio di Newton.

Esercizio 22. Un messaggio di dodici differenti simboli deve essere spedito su un canale di comunicazione seriale. In aggiunta il trasmettitore manderà 45 caratteri di spazio tra i simboli, con almeno tre caratteri tra ogni coppia di simboli. In quanti modi può avvenire la comunicazione?

Ci sono 12! modi di disporre i simboli. Essendoci 11 spazi tra i simboli, la condizione che ce ne siano almeno tre, ne lascia 12 da mettere in maniera arbitraria negli 11 posti possibili. Si tratta di un problema di suddivisione di 12 oggetti indistinguibili in 11 cassetti, ovvero di un problema di combinazioni con ripetizione: . Si ottengono circa 3·10¹⁴ possibilità.

(*) Esercizio 23. Calcolare .

Applichiamo la formula del binomio di Newton: . Derivando ambo i membri otteniamo: . Ponendo x=2 e osservando che il primo termine della somma è nullo, troviamo .