Corso di Matematica 1 - I modulo - A.A.2008/2009
Università degli Studi di Udine, sede di Pordenone, A.A.2008-2009, corso di Laurea in Ingegneria Meccanica.
Questa pagina contiene informazioni e notizie utili per gli studenti del corso di Matematica 1, I modulo, nonché link a vari materiali prodotti durante il corso. Le notizie ufficiali si trovano anche sul sito dell'Università.
Orario delle lezioni
- Giovedì ore 9.30-11.30 (lezione)
- Giovedì ore 11.30-12.30 (sostegno in aula)
- Venerdì ore 14.30-16.30 (lezione)
- Venerdì ore 16.30-17.30 (sostegno in aula)
Programma dettagliato del corso
Questo programma contiene l'elenco dettagliato di tutti gli argomenti effettivamente svolti a lezione e richiesti per il superamento dell'esame. Il programma preventivo di massima si può reperire sul sito dell'Università. I teoremi di cui è richiesta la dimostrazione sono indicati con la dicitura (dim).
- Richiami sugli insiemi. Alcuni simboli logici di uso comune. Insiemi. Operazioni tra insiemi. Insieme delle parti. Relazioni binarie. Proprietà delle relazioni. Relazioni di equivalenza. Relazioni d'ordine. Massimo, minimo, estremo superiore e inferiore di un insieme ordinato. Unicità del massimo e minimo (dim). Funzioni o applicazioni. Funzioni iniettive, suriettive, biiettive. Restrizioni di funzioni. Funzione inversa. Funzioni composte.
- Numeri reali. Richiami sul numeri naturali e interi e loro proprietà. La divisione con resto. Principio di induzione. Potenza nei naturali. I numeri razionali e le loro proprietà. Allineamenti decimali finiti e periodici. Gli assiomi dei reali. Cenno alla costruzione dei reali con le sezioni di Dedekind. Densità dei razionali nei reali e degli irrazionali nei reali. Esistenza dell'estremo superiore (dim). Proprietà caratteristiche dell'estremo superiore e inferiore (dim). La radice n-esima aritmetica nei reali. Numerabilità dei razionali (dim). Non numerabilità dei reali (dim). Elementi di topologia sulla retta reale. Intervalli. Teorema di Cantor (dim). Intorni. Punti interni. Insiemi aperti. Punti di frontiera. Insiemi chiusi. Insiemi chiusi e punti di accumulazione. Insiemi chiusi e punti di frontiera. Teorema di Bolzano-Weierstrass (dim). Punti isolati.
- Alcune funzioni elementari. Generalità sulle funzioni reali di variabile. Dominio naturale. Operazioni tra funzioni reali di variabile reale. Funzioni crescenti e decrescenti. Funzioni pari e dispari. Funzioni periodiche. Le funzioni trigonometriche e le loro proprietà fondamentali. Angoli e loro misura. Le funzioni trigonometriche inverse e le loro proprietà. Classi separate e contigue di numeri reali. Potenze nei reali. Esponenti naturali, interi, razionali. La definizione di potenza con esponente reale (dimostrazione della contiguità di due opportune classi di reali). Le funzioni potenza. Le funzioni esponenziali. Le funzioni logaritmo e la dimostrazione delle principali loro proprietà.
- Limiti e continuità per le funzioni reali di variabile reale. La definizione generale di limite. Il caso particolare del limite finito. Limite destro e sinistro. Una funzione ha limite finito se e solo se i limiti destro e sinistro sono finiti e uguali (dim.). Limite delle restrizioni. Teorema di unicità del limite (dim). Teorema della permanenza del segno (dim). Teorema di limitatezza locale (dim). Teoremi di confronto (dim). Limite di somma, prodotto e reciproca (con dimostrazione nel caso di limiti finiti). Altri teoremi sull'algebra dei limiti. Forme di indecisione. Limite delle funzioni monotone. Limite all'infinito per funzioni periodiche (dim). Limite del valore assoluto di una funzione (dim). Funzioni continue. Limite delle funzioni composte. Continuità dell'inversa. Continuità delle funzioni elementari (polinomi, trigonometriche e loro inverse, esponenziali e logaritmo) (dim).
- Limiti notevoli. Proprietà delle funzioni continue. Limite notevole relativo al seno (dim). Limite notevole relativo al numero "e". Logaritmi naturali. Applicazioni dei limiti notevoli. Limite di lnx/x, all'infinito (dim). Altri limiti relativi alle funzioni esponenziali e logaritmiche. Teorema sugli zeri di una funzione continua (dim). Teorema di connessione (dim). Teorema di Weierstrass.
- Derivate per funzioni reali di variabile reale. Definizione e prime proprietà. Continuità delle funzioni derivabili (dim). Condizione per la derivabilità (dim). Derivate di somme, prodotti, quozienti (tutte con dim). Derivata della funzione composta (dim). Derivata della funzione inversa. Derivate delle funzioni elementari: potenze, radici, trigonometriche e inverse, esponenziali e logaritmiche (tutte con dim). Funzioni iperboliche e loro proprietà. Derivate delle funzioni iperboliche e delle loro inverse.
- Proprietà locali. Funzioni derivabili in un intervallo. Funzioni crescenti e decrescenti in un punto, massimi e minimi relativi. Teorema sulle funzioni derivabili relativo alla crescenza e decrescenza locale (dim). Teorema sulle funzioni derivabili relativo agli estremi locali (dim). Asintoti. Funzioni asintotiche. Condizione necessaria e sufficiente per l'esistenza di asintoti (dim). Teorema di Lagrange (dim). Corollario di Rolle (dim). Funzioni a derivata nulla (dim). Funzioni con la stessa derivata (dim). Funzioni con derivata di segno costante (dim). Teorema di Cauchy. Teoremi di l'Hôpital. Teorema sul limite della derivata (dim). Proprietà di Darboux e derivate.
- Infinitesimi e infiniti. Infinitesimi e loro confronto. Ordine di infinitesimo rispetto a un campione. Principio di sostituzione degli infinitesimi. Infiniti e loro confronto. Ordine di infinito rispetto a un campione. Principio di sostituzione degli infiniti.
- Polinomi di Taylor. Convessità . Derivate successive. Approssimante lineare e approssimazioni polinomiali. Polinomio di Taylor. Formula di Taylor-Peano (dim). Formula di Taylor-Lagrange. Uso per le approssimazioni numeriche. Concavità e convessità in un intervallo: definizioni e prime proprietà. Funzioni convesse con derivata seconda (dim). Proprietà locali del secondo ordine. Convessità locale. Flessi.
- Successioni e serie numeriche. Successioni e sottosuccessioni: definizioni e prime proprietà. Limiti di successioni. Il numero di Nepero. Serie numeriche: definizioni. Somma di una serie. Esempi: serie di Mengoli e serie geometrica. Serie a termini positivi. Convergenza assoluta. Condizione necessaria per la convergenza (dim). Somma di due serie, prodotto di una serie per una costante. Serie resto. Criterio del confronto per serie a termini positivi. Divergenza della serie armonica (dim). Serie armonica generalizzata. Criteri della redice e del rapporto. Serie a segno alterno e criterio di Leibniz. Proprietà commutativa e associativa per le serie a termini positivi.
- Serie di potenze. Serie di funzioni: definizioni. Serie di potenze. Lemma di Abel (dim). Raggio di convergenza. Derivazione e integrazione per serie. Sviluppabilità di una funzione in serie di Taylor. Funzioni analitiche. Sviluppi di alcune funzioni elementari.
- Numeri complessi. Definizioni. Forma algebrica. Il piano di Argand-Gauss. Forma trigonometrica. Radici nei complessi. Successioni e serie nei complessi (cenni). La convergenza assoluta implica la convergenza (dim). Le funzioni elementari nei complessi (cenni). Formule di Eulero (dim).
Modalità dell'esame
L'esame consiste in una prova scritta e una prova orale. La prova scritta si svolge assieme al parallelo corso di Matematica 1 - II modulo. La prova orale ha luogo su convocazione, successivamente alla prova scritta, e consta nella discussione della prova scritta stessa, nonché di domande relative alla parte di teoria.
Appelli d'esame
Sessione di gennaio-febbraio 2009:
- Primo appello: 29 gennaio 2009, ore 9-13
- Secondo appello: 12 febbraio 2009, ore 9-13
Buon lavoro!