Circonferenza osculatrice ad una curva (piana)
Il concetto di circonferenza osculatrice, o circolo osculatore,
ad una curva è di grande importanza in molte
applicazioni, in particolare alla fisica. Esso interviene nel
concetto di accelerazione quando si prova che, in un moto
curvilineo, l'accelerazione vettoriale si può sempre
decomporre nella somma di due addendi, 
, detti,
rispettivamente, accelerazione tangenziale e centripeta.
L'accelerazione è una misura dei cambiamenti di velocità e questa decomposizione consente di valutare indipendentemente le variazioni di modulo della velocità (misurate dall'accelerazione tangenziale) e le variazioni di direzione (misurate dall'accelerazione centripeta). Per esempio in un moto uniforme non si ha accelerazione tangenziale, mentre in un moto rettilineo non si ha accelerazione centripeta.
L'accelerazione tangenziale risulta tangente alla traiettoria, come la velocità, e con verso concorde o discorde alla velocità a seconda che quest'ultima sia in aumento o in diminuzione; per determinarne il modulo basta solamente calcolare le variazioni istantanee del modulo della velocità.
L'accelerazione centripeta ha le seguenti caratteristiche:
- ha direzione perpendicolare alla traiettoria (ed è su questa perpendicolare che si trova il centro della circonferenza osculatrice);
- ha verso PC, dove C è il centro della circonferenza osculatrice;
- ha modulo dato dal rapporto tra il quadrato della velocità e il raggio della circonferenza osculatrice.
Come si vede la conoscenza della circonferenza osculatrice è fondamentale per trattare correttamente il concetto di accelerazione in un moto curvilineo.
L'introduzione rigorosa di questo concetto non è tecnicamente difficile, perlomeno non più difficile di quella del concetto di tangente: Data una curva e un suo punto P, pensato fisso, si considerino altri due punti, Q ed R, sulla curva, non allineati con P. La circonferenza passante per P, Q, R, varia in generale al variare di Q ed R. Si dice circonferenza osculatrice la posizione limite, se esiste ed è unica, di questa circonferenza, al tendere di Q ed R a P.
Decisamente più difficile rendersi conto, a livello grafico, di come una tal posizione limite possa esistere. L'animazione qui sotto ci può essere d'aiuto. Puoi variare la posizione di P direttamente sulla curva (si tratta di una parabola, ma la cosa non ha alcun interesse ai fini di quanto si vuol provare); puoi invece variare la distanza tra P ed R e tra P e Q muovendo il punto T. E' facile osservare che quanto più Q ed R sono vicini a P, tanto più la circonferenza tracciata assume una posizione stabile, con il centro sulla perpendicolare alla curva in P: se P, Q ed R sono praticamente sovrapposti si ottiene la circonferenza osculatrice. Devi prestare attenzione a non sovrapporre esattamente Q ed R a P, altrimenti le condizioni per la costruzione della circonferenza (passaggio per tre punti) vengono a mancare.
Da segnalare il significato etimologico del nome (derivato dal latino osculari, baciare), ad indicare il contatto veramente "intimo" tra una curva e la sua circonferenza osculatrice in un punto: si tratta di un contatto, come si dice in gergo, "almeno tripunto". Si noti che, in generale, una curva e la sua tangente in un punto hanno solo un contatto "bipunto".