Traslazioni e cambi di scala
In tutti i casi che considereremo supporremo di avere tracciato, con qualche tecnica, il grafico di una o più funzioni e ci proporremo di dedurre da essi il grafico di altre funzioni, con semplici "operazioni grafiche".
Traslazione verticale (sull'asse y)
Si tratta di passare dalla funzione y=f(x), alla funzione y=f(x)+k, con un opportuno valore di k. La tecnica consiste semplicemente nel traslare rigidamente il grafico di un tratto verticale k, verso l'alto se k è positivo, verso il basso se k è negativo (naturalmente si può anche traslare l'asse delle ascisse, sempre in verticale, in senso opposto).
| f(x)=2x ; f(x)=2x+2 | f(x)=ex ; f(x)=ex+3 | f(x)=1/x ; f(x)=(1/x)-3 |
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Traslazione orizzontale (sull'asse x)
Si tratta di passare dalla funzione y=f(x) alla funzione y=f(x+k), con un opportuno valore di k. Posto X=x+k e Y=y, la seconda funzione, nel sistema XY, è identica alla prima, nel sistema xy. Si deve dunque traslare rigidamente il grafico orizzontalmente verso sinistra se k è positivo, verso destra se k è negativo (naturalmente si può anche traslare l'asse delle ordinate, sempre in orizzontale, in senso opposto).
| f(x)=x2 ; f(x)=(x+2)2 | f(x)=1/x ; f(x)=1/(x-2) | f(x)=lnx ; f(x)=ln(x+4) |
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Cambiamento di scala sull'asse y
Si tratta di passare dalla funzione y=f(x) alla funzione y=kf(x)., con un opportuno valore di k. Se k>0 si tratta semplicemente di moltiplicare per un fattore k tutte le ordinate della f. Se k<0 questo comporta un ribaltamento del grafico rispetto all'asse x. In particolare si ottiene uno "schiacciamento" se |k|<1, una "dilatazione" se |k|>1. Prestare attenzione al fatto che, ovviamente, i punti sull'asse x non vengono spostati (hanno ordinata zero!).
| f(x)=lnx ; f(x)=3lnx | f(x)=1/x ; f(x)=-5/x | f(x)=x2 ; f(x)=(1/3)x2 |
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Cambiamento di scala sull'asse x
Si tratta di passare dalla funzione y=f(x) alla funzione y=f(kx)., con un opportuno valore di k. Per capire come vanno le cose si può osservare che se per x=1 nella funzione originaria si ottiene un certo valore di y, ora lo stesso valore si ottiene per x=1/k. Se k>1 si tratta dunque di un effetto di schiacciamento sul grafico, se 0<k<1, di un effetto di dilatazione. Se poi k è negativo a tutto questo bisogna aggiungere un ribaltamento rispetto all'asse y. Il caso particolare di k=-1 comporta un semplice ribaltamento del grafico rispetto all'asse y.
| f(x)=sinx ; f(x)=sin(2x) | f(x)=lnx ; f(x)=ln(-x) | f(x)=ex ; f(x)=e3x |
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Esempio
Dedurre il grafico di y=2x2+4x-1 da quello di y=x2. Si può ottenere, successivamente, y=2(x2+2x)-1. Completando il quadrato tra parentesi si ha poi: y=2(x2+2x+1-1)-1=2(x+1)2-3. Si possono allora considerare, in ordine, i grafici di y=x2, di y=(x+1)2, di y=2(x+1)2, di y=2(x+1)2-3. Per tutti questi passaggi si usano le tecniche sopra indicate. I grafici sono rappresentati qui sotto.
E' naturalmente ovvio che il grafico finale poteva anche essere ottenuto direttamente: abbiamo solo voluto illustrare il metodo, per poter poi avere un facile controllo.
Prestare attenzione alle combinazioni delle operazioni sopra considerate. Per esempio se devo tracciare il grafico di f(2x+1) a partire da quello di f(x) posso:
- tracciare il grafico di f(x+1) (traslazione verso sinistra di 1 unità) e poi tracciare il grafico di f(2x+1) (schiacciamento del grafico di un fattore 2);
- tracciare il grafico di f(2x) (schiacciamento del grafico di un fattore 2) e tracciare il grafico di f(2x+1)=f(2(x+1/2)) (traslazione verso sinistra di 1/2 unità).