Operazioni tra funzioni-1

Una delle tecniche frequenti per costruire nuovi grafici a partire da grafici noti è quella di considerare somme, prodotti, quozienti, composizioni, potenze, di funzioni note. Si tratta di un problema non sempre semplice e che richiede attenzione e prudenza. Le tecniche utilizzate si basano sostanzialmente sui risultati seguenti, dei quali invitiamo il lettore a fare le dimostrazioni, per esercizio.

• La composta di due funzioni crescenti è crescente, di due funzioni decrescenti è crescente.
• La composta di due funzioni, di cui una crescente e una decrescente, è una funzione decrescente.
• La somma di due funzioni crescenti è crescente, di due funzioni decrescenti è decrescente.
• Il prodotto di due funzioni crescenti e positive è crescente, di due funzioni crescenti e negative è decrescente.
• Il reciproco di una funzione crescente (decrescente), mai nulla e di segno costante, è decrescente (crescente).

Ci sono alcune altre situazioni in cui è possibile prevedere il comportamento di una somma, prodotto, quoziente, ma vanno analizzate caso per caso.

Occorre prestare la massima attenzione nell'uso delle proprietà indicate, controllando che le ipotesi richieste siano verificate. Per esempio nulla si può dire in generale sul prodotto di due funzioni crescenti che non siano concordi di segno. Basta considerare le funzioni crescenti y=x e y=2x, per constatare che il loro prodotto (y=2x²) non è né crescente né decrescente. In questo caso si possono considerare opportune restrizioni delle due funzioni date per concludere che il prodotto è crescente per x>0, decrescente per x<0, ma in generale le cose non sono così semplici. Discorsi analoghi valgono per la somma.

Esempi

f(x)=ex (crescente)	f(x)=e-x (decrescente)	f(x)=ex + e-x (non monotòna)
f(x)=x3 (crescente)	f(x)=ex (crescente)	f(x)=x3ex (non monotòna)
f(x)=x4 (decrescente e positiva per x<0)	f(x)=ex (crescente e positiva per x<0)	f(x)=x4ex (non monotòna per x<0)