Derivate e notazioni

Le notazioni hanno un ruolo cruciale nella matematica e spesso sono causa di ritardi o accelerazioni nello sviluppo delle teorie. Basta pensare alla scrittura dei numeri: eseguire una somma tra CMLXXXIV e CDXXVII è molto più difficile che non tra 984 e 427!. Questo discorso si applica anche alle derivate. Senza entrare troppo nei dettagli (si potrebbe scrivere un intero libro su questo argomento!) segnaliamo le cose essenziali. 

• La notazione f' per la derivata di una funzione f è stata introdotta da Lagrange e mette l'accento sul fatto che f' è una nuova funzione, dedotta da f per mezzo della derivazione. Il valore di questa nuova funzione in un punto x, f'(x), rappresenta la derivata in quel punto, cioè il coefficiente angolare della tangente al grafico della funzione nel punto
   (x,f(x)). Se, per esempio, f=sin, si ha f'=cos. Si dovrebbe scrivere (sin)'=cos e, in un punto x, (sin)'(x)=cosx, ma quasi sempre si scrive, anche se in maniera leggermente impropria, (sinx)'=cosx, scrittura che diventa particolarmente utile quando non si dispone di un simbolo speciale per la funzione: (x²)'=2x. Bisogna comunque tenere presente che l'operazione di derivazione si applica alla funzione (in questo caso la funzione elevamento al quadrato) e non al valore x². 
   Siccome f' è una nuova funzione, se ne potrà cercare la derivata che, se esiste, sarà naturalmente indicata con f'', e così via:  f''', f⁽⁴⁾, ...f⁽ⁿ⁾ (quando si usano i numeri arabi o le lettere si mettono tra parentesi per evitare confusione con le potenze). Poiché la funzione f è spesso scritta con la notazione y=f(x), si usano anche le scritture y', y'', ecc. Newton usava e al posto di y' e y'', e molti usano ancora i suoi puntini, in particolare i fisici quando parlano di derivata e accelerazione.
• Non molto diversa è l'altra notazione che abbiamo proposto: Df. Questa notazione è oggi largamente utilizzata e mette in luce il fatto che la derivazione può essere considerata come un operatore (indicato con D) che ad ogni funzione derivabile fa corrispondere un'altra funzione. Anche qui si usano spesso notazioni un po' ibride. Per esempio da Dsin=cos, si dovrebbe dedurre (Dsin)(x)=cos(x), ma si scrive invece, abitualmente, Dsinx=cosx. Solo in alcuni casi occorre essere assolutamente precisi (per esempio nello scrivere la derivata della funzione composta o della funzione inversa). Per le derivate successive si usano notazioni come D⁽²⁾, D⁽³⁾, ecc.
• Leibniz, che si interessò spesso del problema delle notazioni, propose un simbolo di derivata completamente diverso. I simboli Δx e Δy, che abbiamo usato nell'introduzione, furono introdotti proprio da Leibniz che scriveva il rapporto incrementale come Δy/Δx. Poiché poi la derivata é il limite del rapporto incrementale e, nelle situazioni comuni, al tendere a zero di Δx tende a zero anche Δy, egli indicò questo limite come dy/dx, concependo dy e dx come quantità infinitamente piccole, o infinitesime (chiamate differenziali), e la derivata come un vero e proprio rapporto di queste quantità, chiamato rapporto differenziale. Leibniz non riuscì a dare una definizione formale e soddisfacente di infinitesimo e questo modo di procedere destò un certo sospetto nei matematici. L'opera di Cauchy, che portò alla classica teoria dei limiti, mise a tacere tutti gli scettici. 
  In ogni caso il modo di lavorare di Leibniz è molto adatto a stimolare l'intuizione e spesso porta rapidamente a risultati che poi possono essere dimostrati in maniera formale. Per esempio nel caso della funzione composta, posto y=f(t), t=g(x) e considerata la y=f(g(x))=h(x), la regola di derivazione si può scrivere , esattamente come se si trattasse di un'operazione algebrica (tra quantità infinitamente piccole). Nel caso della funzione inversa, con ovvio significato dei simboli, posto , la regola di derivazione può essere scritta , ancora una volta come se si facesse un'operazione algebrica. Questo modo di procedere è esattamente quello che si usa nell'analisi numerica per calcoli approssimati di derivate, ed è largamente impiegato in tutte le applicazioni. Si tratta sostanzialmente della tecnica che anche noi abbiamo usato per introdurre il concetto di derivata.
  Recentemente a questo modo di procedere è stata anche data sostanza formale con l'introduzione dei numeri iperreali, che consentono di trattare rigorosamente gli infinitesimi e gli infiniti in un modo molto simile a quello che aveva pensato Leibniz: si tratta della cosiddetta Analisi non standard.