Esercizi riepilogativi sullo studio di funzione
Proponiamo in questa pagina qualche esempio comprendente tutte le tecniche e le strategie indicate per tracciare il grafico di una funzione.
Studiare la funzione 
, limitando l'indagine alla derivata prima.
Dominio. 
.
Segno. Essendo il numeratore positivo, basta studiare il segno del denominatore: la funzione è positiva per valori interni all'intervallo [-1,1].
Continuità . Essendo la funzione composta di funzioni elementari è continua in tutto il dominio.
Limiti notevoli. Si ha: 
; 
; 
, 
, 
. Conviene scomporre il denominatore in 
, osservare che il primo fattore tende a 2 e poi operare
un cambio di variabile 
. Se x tende ad 1 da destra, t tenderà a -∞. Si ottiene di conseguenza:
.
Asintoti. I limiti precedenti ci permettono di affermare che non esistono asintoti obliqui, mentre la retta y=0 è asintoto orizzontale, e le due rette x=1 ed x=-1 sono asintoti verticali. Si può altresì concludere che i punti 1 e -1 sono entrambi discontinuità non eliminabili né a salto.
Derivata prima. Si ottiene facilmente: 
. Il segno di questa funzione dipende unicamente dal
trinomio di secondo grado al numeratore e dal binomio di primo grado al denominatore. Non è
allora difficile trarre concludere che la derivata è positiva in 
, intervalli dove la funzione
è crescente. É interessante il calcolo dell'attacco per x tendente ad 1 da
destra. Conviene usare l'accorgimento già usato per i limiti notevoli e scrivere la
derivata come 
. Il
primo fattore tende a zero (stessa tecnica di prima), il secondo è finito, dunque il
prodotto tende a zero: il grafico della funzione tende ad avvicinarsi al punto (1,0), da destra,
con una tangente orizzontale.
Grafico. Riunendo i risultati trovati prima si può tracciare il grafico seguente:
Studiare la funzione 
.
Dominio. La convenzione più seguita è che la funzione radice cubica sia
definita su tutto R (anche se non valgono per essa le proprietà formali: per esempio
, come si capisce
subito se si osserva che il primo membro può essere positivo o negativo, mentre il secondo
è sempre positivo). Dunque il dominio della funzione è R. Si noti che se
avessimo scritto 
al posto di 
, ci
saremmo trovati in maggiori difficoltà interpretative, in quanto le potenze con esponente
razionale sono quasi sempre considerate definite solo per basi positive: nel risolvere un esercizio
in cui compaiano situazioni di questo tipo consigliamo sempre di consultare l'elenco dei
simboli e delle convenzioni del testo in uso.
Segno. La funzione ha, evidentemente, lo stesso segno di x. Questo comporta che è una funzione dispari e che dunque potremo limitarne lo studio solo ai reali positivi.
Limiti notevoli e asintoti. Si ha 
. Se ne deduce che la retta y=0 è un asintoto orizzontale.
Derivata prima. Si ha 
. Si conclude subito che la derivata è positiva (nei reali positivi) per 
. É anche
immediato verificare che la derivata prima tende a +∞, sia a destra che a sinistra, per cui
la funzione ha un flesso verticale ascendente in (0,0).
Derivata seconda. Si ha (se non ci credi usa Derive!) 
. Il segno dipende solo
(siamo sui reali positivi!) dal polinomio di quarto grado del numeratore, e si trova (equazioni
biquadratiche) che è positivo per 
. La funzione sarà dunque concava tra 0 e 
, convessa oltre . In corrispondenza di si avrà un
flesso.
Grafico. Riassumendo i risultati trovati si trova il seguente grafico.
Osservazione sui software di calcolo automatico.
I più diffusi programmi del tipo citato per calcoli matematici (Derive, Mathematica,
Maple) non contengono la funzione radice cubica tra quelle predefinite. Tale funzione va sostituita
con la potenza x1/3, con il problema però che, anche secondo la convenzione che
noi seguiamo in questo sito, essa non risulta definita sui reali negativi. Per ottenere il grafico
sopra riportato abbiamo usato la strategia di definire la funzione radice come 
. La tecnica è quella
utilizzata per dare una definizione della funzione radice cubica che non si presta ad
ambiguità e difficoltà legate all'uso delle proprietà formali.