Derivata dell'inversa di una funzione - dimostrazione
.
L'inversa di una funzione è caratterizzata dal fatto
che 
. Se fossimo sicuri che l'inversa
è derivabile, la dimostrazione della formula sarebbe
immediata, in applicazione della regola di derivazione della
funzione composta: basterebbe osservare che 
, da cui immediatamente la conclusione.
Poiché però dobbiamo dimostrare la
derivabilità dell'inversa, questo calcolo non regge e
bisogna leggermente modificarlo. La fatica non è poi
tanta, in ogni caso, ed è più che altro è
un problema di notazioni, che spesso creano confusione: la
funzione f manda x in y, per cui
l'inversa dovrebbe mandare y in x.
Poiché però siamo abituati ad usare sempre la
x come variabile indipendente, questo può dare
fastidio, e allora preferiamo usare lettere diverse. Poniamo
allora t=f(s) e s=f-1(t). Per il
rapporto incrementale si ha: 
(per questo bisogna tenere presente che, se
t≠d, anche s≠c, per la
supposta stretta monotonia della funzione). Inoltre se
t→d anche s→c, da
cui il risultato.