Un segmento lungo √n, data l'unità
Si tratta di un problema elementare, ma importante nelle applicazioni. Si deve utilizzare ripetutamente il teorema di Pitagora.
Nella figura qui sotto AA1 e tutti i segmenti rossi sono l'unità di misura. Le ipotenuse
dei triangoli rettangoli costruiti in successione sono lunghe, rispettivamente, 
. E' chiaro che, nella
costruzione, non si deve partire dal segmento lungo 1, basta partire dal quadrato perfetto
immediatamente precedente quello richiesto. Per esempio per costruire la 
basta partire da un triangolo
rettangolo di cateti 6 e 1: si ottiene prima 
e poi .
Una applicazione importante di questa tecnica si ha nella costruzione di un angolo
di seno (o coseno, tangente ...) assegnato. Naturalmente la costruzione è possibile con riga
e compasso solo se il valore dato del seno è costruibile. Nelle applicazioni interessa il
caso 
.
Per risolvere il problema basta costruire il segmento 
(dove abbiamo razionalizzato il denominatore), a
partire dal raggio della circonferenza goniometrica, e riportarlo come indicato in figura.
