Andiamo al sodo
Nell'insieme 
, introduciamo due operazioni, che
chiameremo somma e prodotto e indicheremo con "+" e
"·", nel seguente modo:
- (a , b)+(c , d) = (a+c , b+d)
- (a , b)·(c , d) = (ac-bd , ad+bc)
Non è difficile riconoscere nella prima la usuale somma di due vettori, mentre la seconda è un'operazione completamente nuova sull'insieme delle coppie. Chi ha letto attentamente la pagina sull'introduzione informale si accorgerà comunque subito che si tratta in sostanza della regola di moltiplicazione che abbiamo usato allora: (a+ib)·(c+id)=ac-bd+i(ad+bc). In questa operazione ometteremo, quando non c'è possibilità di confusione, il simbolo "·", come già fatto sui reali.
Proviamo direttamente che valgono le stesse proprietà delle operazioni già studiate in R.
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Associativa
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Esistenza elemento neutro
- L'elemento neutro dell'addizione è (0,0).
- L'elemento neutro della moltiplicazione è (1,0).
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Esistenza del simmetrico
- L'opposto di (a,b) è (-a,-b)
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Se (a,b)≠(0,0) allora il reciproco di
(a,b) è
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Commutativa
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Distributiva del prodotto rispetto alla somma (questa
proprietà è una specie di "regola di
convivenza" tra addizione e la moltiplicazione)
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Se valgono tutte queste proprietà siamo autorizzati a chiamare numeri questi nuovi oggetti, cioè questa nuova struttura algebrica costituita da R2 come supporto e con le due operazioni indicate: per distinguerli dagli altri numeri che già conosciamo li chiameremo numeri complessi. Li indicheremo sempre con C.
Come abbiamo fatto nelle altre estensioni numeriche andiamo a vedere se esiste un sottoinsieme di questo nuovo insieme che possa essere identificato con i vecchi numeri reali: se così è potremo chiamare parlare di questo nuovo insieme come di un ampliamento dei reali.
Si vede facilmente che i numeri del tipo (a,0) se sommati o moltiplicati tra di loro rimangono sempre dello stesso tipo (cioè con seconda coordinata nulla); anche il reciproco e l'opposto di un numero di questo tipo è ancora un numero di questo tipo. Questo ci autorizza ad identificare i nuovi numeri del tipo (a,0) con i vecchi numeri reali, tanto che scriveremo semplicemente a al posto di (a,0). E' la stessa cosa che abbiamo fatto, per esempio, con i razionali: le frazioni 2/1, oppure 4/2, 6/3, ecc. sono formalmente diverse dal vecchio numero razionale intero 2, ma si comportano esattamente allo stesso modo, tanto che scriviamo sempre 2 e a nessuno viene in mente di scrivere 2/1, oppure 6/3, ecc.: sarebbe solo una perdita di tempo.
Osserviamo ora che (a,b) = (a,0)+(0,1)(b,0), cosa che possiamo anche scrivere come (a,b) = a+(0,1)b. Con questo trucco possiamo rappresentare i nuovi numeri come somma di uno dei vecchi numeri più uno dei vecchi numeri moltiplicato sempre per la coppia (0,1): siccome questa coppia compare sempre, tanto vale usare un simbolo speciale per rappresentarla, per non appesantire la scrittura. Il simbolo giusto ci viene suggerito da questo calcolo: (0,1)2=(0,1)(0,1)=(-1,0)=-1. Quindi sarà logico porre, per definizione,
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Con questa posizione potremo scrivere i nuovi numeri nella forma: (a,b)=a+ib. Ecco che abbiamo trovato il modo di introdurre l'oggetto misterioso i in una maniera perfettamente legittima e formalmente corretta!
Fatto questo possiamo tranquillamente dimenticare le regole di calcolo indicate in questa pagina e procedere con quanto già detto nella definizione informale. Ora però lavoriamo sentendoci a posto con la nostra coscienza!
Prima di procedere oltre segnaliamo alcune convenzioni sulle notazioni e le locuzioni usate:
- nei problemi che ammettono come soluzioni numeri complessi, la variabile è di solito indicata con z, anziché con la x che si usa per i reali;
- la scrittura a+ib è chiamata forma algebrica di un numero complesso (in inglese si usa rectangular form);
- nella scrittura z=a+ib, a è detto la parte reale del numero complesso z ed è sovente indicata con Re(z), mentre b è detta parte immaginaria o anche coefficiente dell'immaginario di z ed è sovente indicato con Im(z).