Limiti del metodo assiomatico
La sistemazione della geometria elementare proposta da Hilbert nei Grundlagen der geometrie ha un'importanza che supera di gran lunga l'ambito, seppure fondamentale, a cui si applica, cioè la geometria. Essa è fondamentale per il modo stesso di concepire i metodi della matematica. L'approccio di Hilbert dà infatti un'importanza essenziale al ruolo degli assiomi, come base essenziale per lo sviluppo di tutta la disciplina. L'idea di base era già presente in Euclide, dove però i postulati venivano scelti sulla base della loro evidenza "sperimentale" e della loro plausibilità (tant'è che Euclide non introduce alcuni postulati, troppo evidenti per dover essere esplicitamente scritti, come per esempio il postulato di Pasch: se una retta entra in un triangolo attraversando un lato, deve uscirne attraversando un altro). In Hilbert invece i postulati non hanno alcuna rilevanza intuitiva e servono unicamente a fornire una base coerente, e priva di ripetizioni, alle dimostrazioni. Gli assiomi di Hilbert sono una serie di proposizioni relative ad oggetti che vengono chiamati punti, rette e piani, ma che non hanno alcun diretto riferimento alle corrispondenti nozioni geometriche, a parte il nome. In sostanza, hanno il diritto di essere chiamati punti, rette e piani tutti gli enti, indipendentemente dalla rappresentazione intuitiva che possiamo farci, che soddisfano le condizioni basilari del sistema di assiomi. La geometria che ne deriva è quindi una scienza formale e puramente deduttiva.
Sono molto interessanti le parole (citate in http://matematica.uni-bocconi.it/infinito/infinito04.htm), polemiche nella sostanza, anche se di lode nella forma, con cui Jules Henri Poincaré commenta l'opera di Hilbert: "... tutto vi è esplicitato in modo da permettere di fare Geometria anche ad un cieco;" "per dimostrare un teorema, non è più necessario e nemmeno utile sapere cosa vuol dire (...)" e l'intera ricerca scientifica sembra ridursi ad una "macchina in cui si introducono gli assiomi da una parte e si raccolgono i teoremi dall'altra". In sostanza si potrebbe costruire un automa con una porta di ingresso e una di uscita: man mano che si introducono nuovi assiomi in ingresso, l'automa sforna teoremi sempre più particolareggiati in uscita.
Il problema in tutto questo è che Kurt Gödel, nel 1931, dimostrò esplicitamente che in ogni costruzione assiomatica esistono asserzioni che non possono essere né provate né smentite (primo teorema di incompletezza). Inoltre la coerenza di un sistema di assiomi, cruciale nella teoria di Hilbert, è tra quelle asserzioni che non possono essere dimostrate, a partire dagli assiomi stessi, e pertanto è destinata a rimanere per sempre ambigua (secondo teorema di incompletezza). Nel 1963 Paul Cohen riuscì a portare un esempio cruciale di proposizione indecidibile (nella teoria degli insiemi) e da allora si scoprì che i problemi indecidibili erano più numerosi di quanto si pensasse.
Dunque non possiamo sperare di costruire una teoria assiomatica della geometria assolutamente coerente e priva di ripetizioni. Questo non significa che dobbiamo rinunciare completamente alla costruzione: dobbiamo semplicemente tenere conto di questa limitazione.