La funzione \(sin\frac{1}{x}\) e il limite per \(x\) tendente a zero
La funzione, definita in \(\mathbb{R}\setminus 0\), da \(f(x)=\sin\frac{1}{x}\) ha un interessante comportamento nei pressi dell'origine: infatti se \(x\) tende a 0, essa "continua ad oscillare" da -1 a 1, senza mai stabilizzarsi intorno ad alcun valore. Questo comporta che \[\lim_{x\to 0}\sin\frac{1}{x}∄\]
Si tratta di un esempio fondamentale nello studio dei limiti delle funzioni reali di variabile reale, che dà origine a numerosi altri esempi interessanti.
Tuttavia non è facile, per che è alle prime armi, capire il perché la funzione non debba avere un limite, al tendere di \(x\) a 0. Proponiamo una animazione che consente di rendersi conto anche a livello visivo di quello che succede. Occorre tenere conto che nessun programma di grafica al computer può rendere in maniera decente il grafico di questa funzione, che risulta di necessità molto approssimato nei pressi dell'origine.
L'animazione si può raggiungere al seguente link: animazione relativa alla funzione sin(1/x).