Un problema di cinematica a prima vista banale
Consideriamo il seguente problema:
Due treni partono da
due città distanti tra loro 6 km e si muovono, uno verso l'altro, alla velocità
di 3 km/h. Un uccellino parte dal primo treno e vola, alla velocità costante di 6 km/h, da
un treno all'altro e viceversa, fino all'incontro tra i treni. Si chiede lo spazio percorso
dall'uccellino e il diagramma orario dei tre moti.
É ovvio che la risposta alla prima domanda è banale: poiché i treni impiegano un'ora per incontrarsi, l'uccellino avrà percorso esattamente 6 km.
Altrettanto semplice può dirsi la determinazione del diagramma orario del moto dei due treni. Indichiamo con A il primo treno, con B il secondo, e introduciamo un sistema di ascisse con l'origine in A e orientato verso B. Utilizziamo le ore come unità di misura dei tempi e i km come unità di misura degli spazi.
In questo sistema il diagramma orario del moto dei due treni è, rispettivamente, xA=3t e xB=-3t+6. La loro rappresentazione grafica, che mette in evidenza anche il momento dell'incontro, è rappresentata qui sotto.
Esaminiamo ora il moto dell'uccellino. Il diagramma orario, prima dell'incontro con il
treno B, è chiaramente xU=6t. Per trovare il momento d'incontro con il
treno B basterà risolvere il sistema
, e si trova subito
. Il diagramma orario da questo istante fino al nuovo incontro con il
treno A sarà del tipo
, e
q andrà determinato con la condizione che. per
, si abbia x=4. Si trova
facilmente q=8, da cui
. Procedendo come prima si trova che l'incontro con il treno A
avviene a 
e
. Il diagramma orario del
moto dell'uccellino sarà, da questo momento e fino all'incontro con il treno B,
. Si possono così
trovare l'istante ed il posto del nuovo incontro con il treno B:
. Iterando il procedimento si
trovano, di seguito, i seguenti diagrammi orari:
, 
,
, ecc. I coefficienti angolari di questi diagrammi sono, alternativamente, 6 e -6, a
seconda che l'uccellino voli verso B o verso A. Tenendo conto di queste equazioni si trovano
facilmente gli istanti e le ascisse successive di incontro. Se riportiamo anche quelli già
trovati, abbiamo:
tempi:
..., ascisse:
... .
I tempi sono tutti del tipo
, le ascisse del tipo
(con il +1 per gli incontri con il treno B, il -1 per quelli con il treno A), avendo
indicato con n il numero progressivo dell'incontro. Si vede subito come, dal punto di
vista teorico, il numero di incontri dell'uccellino con i treni, prima dello scontro, è
infinito, e come il tempo finale tende ad 1, mentre la ascissa tende a 3. É altresì
evidente che i "voli" diventano sempre più brevi.
Gli spazi percorsi dall'uccellino sono, infatti, nell'ordine,
..., e la somma di questi termini
dà proprio 6. (Si tratta di una serie geometrica, di ragione
, in cui ciascun termine è
moltiplicato per 4).