Corso di Matematica 1 - II modulo - A.A.2009/2010
Università degli Studi di Udine, sede di Pordenone, A.A.2009-2010, corso di Laurea in Ingegneria Meccanica.
Università degli Studi di Trieste, sede di Pordenone, A.A.2009-2010, corso di Laurea in Ingegneria Industriale.
Questa pagina contiene informazioni e notizie utili per gli studenti del corso di Matematica 1, II modulo, nonché link a vari materiali prodotti durante il corso. Le notizie ufficiali si trovano anche sul sito dell'Università.
Orario delle lezioni
- Martedì ore 8.30-10.30 (lezione)
- Giovedì ore 9.00-10.00 (ricevimento in aula)
- Giovedì ore 10.00-12.00 (lezione)
Programma dettagliato del corso
Questo programma contiene l'elenco dettagliato di tutti gli argomenti effettivamente svolti a lezione e richiesti per il superamento dell'esame. Il programma preventivo di massima si può reperire sul sito dell'Università. Tutti gli argomenti trattati a lezione sono diffusamente spiegati sulle dispense distribuite. Il presente programma fa riferimento a quelle dispense, in particolare a quella dal titolo Argomenti di matematica per l'ingegneria, Volume 2°, nella versione 2009-2010. I pochi argomenti trattati non presenti nelle dispense sono esplicitamente indicati.
Tutti i teoremi presenti sulle dispense contengono la relativa dimostrazione, che fa sempre parte del programma, a meno che non ci sia la esplicita indicazione nodim o simile tra parentesi. Tuttavia solo i teoremi con la esplicita indicazione dim tra parentesi saranno richiesti in sede d'esame, gli altri sono da considerarsi approfondimenti e potranno essere oggetto d'esame per le valutazioni più elevate (>27).
I vettori geometrici. Il concetto di vettore geometrico. La relazione di equipollenza. La somma di vettori. Commutatività (dim) e associatività (dim) della somma di vettori. Prodotto di un numero reale per un vettore. I sottospazi di dimensione 1 di V. Proposizione 3.11 (dim). Proposizione 3.13 (dim). I sottospazi di dimensione 2 di V. V è uno spazio di dimensione 3. Cambiamenti di base negli spazi vettoriali geometrici. Proposizione 3.23 (dim). Proposizione 3.24 (dim). Cenno all'orientamento negli spazi vettoriali geometrici (senza le dimostrazioni).
Algoritmi vettoriali. Norma di un vettore. Angolo fra vettori. Il prodotto scalare e il concetto di base ortonormale. Proposizione 4.7 (dim). Il prodotto vettoriale. Proposizione 4.9 (dim). Il prodotto misto. Proposizione 4.11 (dim). Proposizione 4.13 (dim). Cambiamento di base tra basi ortonormali. Osservazione 4.12 (dim nei casi n=1 e n=2). Proposizione 4.15 (dim).
Le coordinate cartesiane di punto. Le coordinate cartesiane sulla retta. Proposizione 5.4 (dim). Proposizione 5.5 (dim). Le coordinate cartesiane nel piano. Proposizione 5.10 (dim). Le coordinate cartesiane nello spazio.
La geometria analitica nel piano. Generalità sulla rappresentazione analitica dei luoghi piani. Trasformazione dell'equazione di un luogo a seguito del cambiamento del sistema di riferimento. Proposizione 6.1 (dim). Rappresentazione cartesiana della retta. Proposizione 6.2 (dim). La rappresentazione parametrica di una retta. Proposizione 6.6 (dim). La rappresentazione cartesiana del circolo. Proposizione 6.12 (dim). Proposizione 6.13 (dim). Proposizione 6.14 (dim). La rappresentazione cartesiana dell'ellisse (solo dimostrazione del procedimento per ottenere l'equazione canonica). La rappresentazione cartesiana dell'iperbole (no dimostrazioni). La rappresentazione cartesiana della parabola (no dimostrazioni).
La geometria analitica nello spazio. La rappresentazione del piano e della retta. Proposizione 8.1 (dim). La rappresentazione parametrica del piano (questo argomento non è contenuto nelle dispense). Proprietà dell'equazione cartesiana del piano. Proposizione 8.2 (dim). Parallelismo e perpendicolarità tra piani. Le equazioni cartesiane di una retta nello spazio. Le equazioni parametriche di una retta nello spazio. Proposizione 8.7 (dim). Parallelismo e perpendicolarità tra rette e tra rette e piani nello spazio. Fasci propri e impropri di piani nello spazio. Proposizione 8.10 (dim). Angoli tra due rette e tra una retta e un piano nello spazio. Minima distanza tra due rette sghembe nello spazio. La sfera nello spazio e la sua equazione cartesiana. Piano tangente a una sfera e formula di sdoppiamento (dim). Superfici di rotazione nello spazio. Generalità. Applicazione alla rotazione delle coniche: quadriche di rivoluzione.
Rappresentazione parametrica delle coniche. Generalità sulle curve piane. Curve regolari e generalmente regolari. Diverse parametrizzazioni di una curva. Rappresentazioni parametriche di una circonferenza, di una ellisse, di una iperbole e di una parabola. Il vettore tangente a una curva data in equazioni parametriche.
Le funzioni reali di due variabili reali. Generalità. Grafici come "superfici" dello spazio. Introduzione al concetto di limite per le funzioni di due variabili. Funzioni continue di due variabili. Problemi relativi al calcolo dei limiti per le funzioni di due variabili. Limiti di restrizioni e applicazioni al calcolo dei limiti in due variabili. Confronto con le funzioni di una variabile. Le derivate parziali di una funzione di due variabili. Significato geometrico. Equazione della retta tangente alle curve restrizioni di una funzione a rette parallele agli assi. Verso il concetto di piano tangente. Funzioni composte. Differenziale per le funzioni di una e due variabili reali e significato geometrico. Derivate direzionali. Gradiente e significato geometrico. Gradiente e derivate direzionali. Derivate successive. Formula di Taylor. Massimi e minimi per le funzioni di due variabili. Punti di sella. La matrice Hessiana. Comportamento del grafico di una funzione rispetto al piano tangente in un punto.
Misura e integrazione. La misura di un intervallo di numeri reali. Gli intervalli di R2 e la loro misura. Pluriintervalli. Insiemi misurabili. Trapezoide di una funzione continua. Integrale definito di una funzione continua. Proprietà dell'integrale definito. Teorema delle media integrale (dim). Aree di regioni normali. Il teorema fondamentale (dim). Formula di Torricelli (dim). Integrazione per parti e per sostituzione. Integrazione delle funzioni razionali fratte.
Funzioni implicite (introduzione). Vari modi di definire una funzione. Funzioni implicite definite da un'equazione in due variabili. Il teorema di Dini. Derivate delle funzioni implicite. Funzioni implicite definite da un'equazione in tre variabili. Il teorema di Dini. Derivate parziali delle funzioni implicite.
Integrali impropri. Estensione del concetto di integrale. Integrali di funzioni continue su intervalli aperti o semiaperti. Integrali su intervalli illimitati. Proprietà dell'integrale improprio in confronto all'integrale di Riemann. Integrabilità e ordine di infinito. Integrabilità e ordine di infinitesimo.
Modalità dell'esame
L'esame consiste in una prova scritta e una prova orale. La prova scritta si svolge nello stesso giorno del parallelo corso di Matematica 1 - I modulo, con la seguente modalità: la prima parte riguarda il modulo I ed ha la durata di circa 1 ora e mezza, successivamente viene concesso un intervallo di circa 20-30 minuti, dopodiché ha luogo la seconda parte che riguarda il modulo II, sempre con la durata di circa 1 ora e mezza. La prova orale ha luogo su convocazione, successivamente alla prova scritta, e consta nella discussione della prova scritta stessa, con comunicazione dell'eventuale suo superamento, nonché di domande relative alla parte di teoria. Il voto finale è ottenuto dalla media dei voti del modulo I e del modulo II. La registrazione ufficiale avviene solo dopo il superamento di entrambi i moduli. Nei diversi appelli è consentito comunque anche svolgere la prova relativa a uno solo dei due moduli, sia per quanto riguarda la parte scritta che quella orale.
Appelli d'esame
1 febbraio 2010 ore 9-13
17 febbraio 2010 ore 9-13
21 giugno 2010 ore 9-13
5 luglio 2010 ore 9-13
Matematica per l'ingegneria...
[...] It follows that the most important objective in engineering mathematics seems to be that the student becomes familiar with mathematical thinking. He should learn to recognize the guiding principles and ideas "behind the scenes", which are more important than formal manipulations. He should get the impression that mathematics is not a collection of tricks and recipes but a systematic science of practical importance resting on a relatively small number of basic concepts and involving powerful unifying methods. He should soon convince himself of the necessity for applying mathematical procedures to engineeering problems, and he will find that the theory and its applications are related to each other like a tree and its fruits.
E., Kreyszig: Advanced Engineering Mathematics
Buon lavoro!