Curve, superfici e integrali connessi: video scaricabili da http://www.teachertube.com
In questa collezione di video, tutti scaricabili da TeacherTube, è proposta una introduzione, puramente "visuale" ai concetti di curva, superficie e integrali di linea e superficie, fino a trattare i teoremi della divergenza e di Stokes.
La raccolta non ha alcuna pretesa di completezza e sistematicità, e vuole semplicemente fornire un aiuto "grafico" per la migliore comprensione di questi importantissimi concetti, che hanno applicazioni in tutti i campi.
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- Curve, superfici, vettori tangente e vettore normale.
- Esempi. Richiami sugli integrali di Riemann e il loro significato geometrico.
- Elementi di linea e superficie e integrali di campi scalari.
- Curve equivalenti. Curve e superfici cartesiane.
- Tangenti, piani normali e tangenti.
- Campi vettoriali. Gradiente e suo significato.
- Integrali di campi vettoriali.
- Teoremi della divergenza e del rotore.
- Significato geometrico-fisico della divergenza e del rotore.
- Campi conservativi. I teoremi di Pappo-Guldino.
Esercizi vari ed esempi
- Esercizi 1 e 2.
\(\gamma\,:\, [0,\pi]\rightarrow\mathbb{R}^2\,,\quad \gamma(t)=\left(\int\limits_0^{2t}\cos^2\left(\frac{u}{2}\right)\mathrm{d} u,\sin^2(t)\right)\) (Regolare?, semplice?, ecc.)
\(\gamma\;:\; I=[-\pi,\pi]\rightarrow\mathbb{R}^2\,,\quad \gamma(t)=\left(-2\sin(t),\pi^2-t^2\right)\) (Regolare?, semplice?, schizzo.) - Esercizio 3.
\(\int\limits_{\Sigma}\frac{z(z-1)(x^2+y^2)}{\sqrt{4(x^2+y^2)+(x^2+y^2)^3}}\mathrm{d} \sigma\) , con \(\Sigma=\left\{(x,y,z)\;:\; z=\frac{2}{\sqrt{x^2+y^2}}-2\,,\,0\leq z\leq 1\right\}\) - Esercizio 4.
\(\gamma(t)=\left(\frac{t^2}{2},\int_0^t u\cosh u\mathrm{d} u\right),\,-\ln 3\leq t\leq\ln 3\) (Regolare?, semplice?, ascissa del baricentro.) - Esercizio 5.
\(\gamma(t)=\left(t-\sin t,1-\cos t\right),\,0\leq t\leq4\pi \) (Regolare?, semplice?, schizzo, coordinate del baricentro.) - Esercizio 6.
\(z=1-x^2-y^2,\;z\geq 0\,,\quad\overrightarrow{F}=(y,z,x)\) (Verificare Stokes) - Esercizio 7.
\(z=c\left(1-\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}\right),\;z\geq 0\,,\quad\overrightarrow{F}=\left(xy^2,yx^2,-(c+z)(x^2+z^2)\right)\) (Calcolare il flusso; usare teorema divergenza.) - Esercizio 8.
\(V:\,x^2+y^2+z^2\leq 1,z\geq 0\,,\quad\overrightarrow{F}=(xy^2,1,z)\) (Verificare il teorema della divergenza.) - Esercizio 9.
\(\gamma(t)=\left(t^2,t^3\right),\,0\leq t\leq 1\,,\quad\overrightarrow{F}=\left(\frac{y^2}{1+x^2y^4},\frac{2xy}{1+x^2y^4}\right) \) (Verificare che il campo è conservativo, calcolarne un potenziale, calcolare l'integrale sulla curva.) - Esercizio 10.
\(\Sigma=\{(x,y)\in\gamma([1,\sqrt{3}])\},\,0\leq z\leq\sqrt{x^2+4y^2}\,,\gamma=(t,t^2/2) \) (Calcolare l'area della superficie cilindrica.) - Esercizio 11.
\(\overrightarrow{F}=(\tan(x^4)-y^2,x^2+\tan(y^3))\,,D=\{(x,y)\,|\,0<x<y<1\}\) (Calcolare la circuitazione del campo sul bordo orientato positivamente del dominio.) - Esercizio 12.
\(\overrightarrow{F}=\left(\frac{1}{x}-\frac{y^2}{x^2},\frac{2y}{x}\right)\) (Calcolare il dominio, il rotore, un potenziale.) - Esercizio 13.
\(\overrightarrow{F}=\left(\frac{1}{3}(x^2+y^2)^{2/3},xy\right)\,,D:1\leq x^2+y^2\leq 4\) (Calcolare il rotore e la circuitazione lungo il bordo orientato positivamente della regione data.) - Esercizio 14.
\(\overrightarrow{F}(x,y)=\left(\sin(xy)+xy\cos(xy), x^2\cos(xy)\right)+\big(y,2x\big)\) (Calcolare la circuitazione lungo la circonferenza di centro l'origine e raggio 1, orientata positivamente.)